2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及答案

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1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛于2010年9月19日（星期日）上午9:00-11:30在甘肃各地州市同时举行,有九千多名中学生参加了这次预赛.联赛预赛由省数学会普及委员会在甘肃省五学科竞赛管理委员会领导下组织出题，由各地州市自己组织竞赛和阅卷,并按参加预赛人数的5%～10%上报参加联赛的人选.最后选拔了近一千名同学参加在省城兰州举行的全国高中数学联赛.预赛试题的大部分内容不超出现行《全日制普通高级中学

2、数学教学大纲》的范围，同时适当涉及到了《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》.试题结构与新的联赛试题结构相适应，取消了选择题.预赛试卷包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分.-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》试题一.填空题(每小题7分，共56分)1.已知是非负整数,满足，则.2.设，函数和的图像交于点且它们分别与轴交于和点，若三角形的面积是，则.3.已知是公差为正数的等差数列的前项之和，如果在时取到最小值,则的取值范围是.4.已知函数在的切线和轴交于，如果,

3、则.5.函数对于一切满足不等式，则；6.锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是；7.是椭圆上的一动点，和是椭圆的两个焦点，则的取值范围是；8.用3种颜色给立方体的8个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染4个顶点．则任一棱的两个端点都不同色的概率是；二.解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知，，求-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》的值.10.设是的一个排列（），求证：.11.对任意的正整数,证明恒等式.12.设是一些互不相

4、同的4元数组的集合，其中或,．已知的元素个数不超过且满足：若，则且．求的元素个数的最大值．解答1.19提示：,故-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》，于是应填.2.2提示：由和的图像知三角形是底为的等腰直角三角形,故其面积，于是.应填.3.提示：设，则，于是．由题设知，由此可得，故的取值范围是．4.3提示：由知，于是在的切线方程为．它与轴交于点，故，由此可得．又，故，所以应填．5.0提示：，由此得，从而（常数）．故应填．-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请

5、谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》6.提示：由题设及余弦定理，于是而上式等号成立当且仅当．7.提示：设，，则有，，于是．注意到，即有，也即（其中），故有．-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》8.提示：当其中一种颜色染4个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的4个顶点．于是满足要求的染色方法共有(种)若要求任一棱的两个端点都不同色，则一种颜色染4个顶点的染法只有2种，此时其余两种颜色仍可任意染色剩余的4个顶点．于是这样的染法共有(种)故所求概

6、率为.9.由及可得，于是.注意到从而-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》=.10.由柯西不等式容易得到：从而有11.证明：.12.显然所有可能的4元数组有16种．因为至少有一个那样的4元数组不在-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》中，所以，，和中至少有一个不在中，若不然由题中条件可推出所有那样的4元数组都在中，不妨设．此时由题中条件又知，和中至少有2个不能在中，不妨设和不在中．此时又可知和

7、不能同时在中，不妨设不在中．于是的元素个数不超过个．现在设是所有可能的16个4元数组中去掉，，和后所成的集合，我们要证满足题中条件，从而的元素个数最大值为．任取.（1）若或或，则显然不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于．又（2）若或且，则，由此推出或不属于，这种情况不会出现．类似地有：（3）若或或，则显然不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于．（4）若且或，则，由此推出或不属于，这种情况也不会出现．-9-声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》综上所述，是满足

8、题目要求的，故的元素个数最大值就是．-9-