通信网基础课后习题答案

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1、2-2验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间内从状态k转移到k+1（k>=0）的概率为，为状态的出生率；当有顾客服务完毕离去时，在时间内从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为，为状态的死亡率；在时间内系统发生跳转的概率为；在时间内系统停留在状态的概率为；故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。2-3对于一个概率分布，令称为分布的母函数。利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。解：对于M/M/12-4两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明

2、：Z的母函数为X,Y母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。证：设Z(!!!此处应为X???)的分布为：，Y的分布为：由于所以g(Z)=g(X)g(Y)对于两个独立的Poisson流，取任意一个固定的间隔T，根据Poisson过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：i=1,2这两个分布独立分布列的母函数分别为：他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积所以合并流为参数的Poisson过程。2-7求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布的概率密度。可以根据归纳法验证，的概率密度为x>=0证明：利用两个随机变量

3、的和的概率密度表达式：求的分布，当X和Y相互独立时，且边缘密度函数分别为和，则。阶Erlang分布是指个彼此独立的参数为的负指数分布的和。用归纳法。当时，需证2阶Erlang分布的概率密度为令时成立，即则当时，3-1证明：证：3-2证明：（1）（2）（1）证：（2）证：3-3在例3.3中，如果呼叫量分别增加10％，15％，20％，请计算呼损增加的幅度。话务量a=21.924.0925.18526.28s=300.0200.0410.0540.069增加的幅度103%170%245%话务量a=5.085.5885

4、.8426.096s=100.0200.0310.0380.046增加的幅度55%90%130%3-4有大小a＝10erl的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前5条中继线每条通过的呼叫量。解：第一条线通过的呼叫量：a1=a[1-B(1,a)]=10×[1-0.9090]=0.910erl第二条线通过的呼叫量：a2=a[B(1,a)-B(2,a)]=10×[0.9090-0.8197]=0.893erl第三条线通过的呼叫量：a3=a[B(2,a)-B(3,a)]=10×[0.8197-0.7321]=0.87

5、6erl第四条线通过的呼叫量：a4=a[B(3,a)-B(4,a)]=10×[0.7321-0.6467]=0.854erl第五条线通过的呼叫量：a5=a[B(4,a)-B(5,a)]=10×[0.6467-0.5640]=0.827erl3-6对M/M/s等待制系统，如果s>a，等待时间为w，对任意t>0。请证明：。证：s>a，交换次序，得：3-12考虑Erlang拒绝系统，或M/M/s（s）系统，a＝λ/μ。一个观察者随机观察系统并且等待到下一个呼叫到来。请证明：到来的呼叫被拒绝的概率为：。证：随机观察系统

6、，下一个到来的呼叫被拒绝的必要条件为系统在随机观察时处于状态s，其概率为B(s,a)。其次，下一个到来的呼叫被拒绝必须在到达间隔T内，正在服务得s个呼叫没有离去，这个事件的概率为P。T服从参数为λ的负指数分布，在T内没有呼叫离去的概率为：，则：最后，到来的呼叫被拒绝的概率为：