2016高中数学人教a必修1第二章2.2.1　对数与对数运算

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1、2.2.1　对数与对数运算1．对数的概念[来源:www.shulihua.net](1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确

2、定，因此规定a≠1；(4)由ax＝N，a＞0知N恒大于0．(2)特殊对数名称记法说明常用对数lgN以10为底的对数，并把log10N记为lgN自然对数lnN以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(3)对数的性质根据对数的概念，对数logaN(a＞0，且a≠1)具有以下性质：性质说明零和负数没有对数，即N＞0当a＞0，且a≠1时，ax＞0，即N＝ax＞0，所以对数logaN只有在N＞0时才有意义1的对数等于0，即loga1＝0因为a0＝1，由对数的定义得0＝loga1底的对数等于1，即logaa＝1因为a1＝a，由对数的定义得1＝logaa(4)对数与指数

3、的互化关系当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝643＝log464；log525＝252＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解　(1)由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：式子[来源:www.shulihua.net]名称[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]意义axN指数式ax＝N底数指数幂a的x次幂等于N对数式logaN＝x底数对数真数以

4、a为底N的对数等于x(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　)A．100＝1与lg1＝0B．与＝C．log39＝2与＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或＝3→log93＝．故选C．答案：C【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．题号指数式对数式(1)103＝1000(2)log210＝x(3)e3＝x解析：(1)103＝1000lg1000＝3．(2)lo

5、g210＝x2x＝10．(3)e3＝xlnx＝3．答案：(1)lg1000＝3；(2)2x＝10；(3)lnx＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)logx27＝；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3．∴x＝103＝1000．(3)∵logx27＝，∴＝27．∴x＝＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0

6、，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(nR)．谈重点对对数的运算性质的理解　(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系式子ab＝NlogaN＝b运算性质am·an＝am＋nloga(M

7、N)＝logaM＋logaN＝am－n＝logaM－logaN(am)n＝amnlogaMn＝nlogaM谈重点对数运算性质推导的基本方法利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，于是MN＝am·an＝am＋n，因此loga(MN)＝logaM＋