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《湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题17》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十七章（群）1.设是群，.试证：证明：设是单位元（下同），直接根据定义即有：,2.试举一个只有两元素的群。解：设，并且的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，00=0；01=1；10=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此11=0。因此乘法运算有如下表：01001110易知，单位元，运算满足封闭性和结合律，且。故是群。3.设的乘法表为问：是否成为群？若不是群，结合律是否成立？有无单位元?解：如果A是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。因此A无单位元，故A不
2、成群。且,无结合律。4.设是群.试证：若对任何，均有，则是交换群.证明：利用消去律，将各等式降阶。又因此，,于是，得,再由(1)知，,故有.5.设是群.试证：若对任何，有，则是交换群。证明：利用群的性质(3),(4),对任意，有。故是交换群。6.设是群，是正整数.试证：存在，使.13证明：任取。若，则和在中成对出现。注意到群的元素个数为偶数，因此，在中满足即的元素个数也是偶数。但满足.故除之外，至少还有一个,使得.7.试证：1阶群，2阶群，3阶群和4阶群都是交换群，并构造一个不是交换群的6阶群.证明：设至阶群分别为1)显然，是交换群。2)是
3、交换群。3)对，若，则有，即,从而（矛盾）;同理，若,则有（矛盾）。因此必有。又故是交换群。4)对于。(i)若中两个元素互为逆元，不妨设，则必有且,否则有或。同理可证。(ii)若各自以自身为逆元，即，则必有.总之，是交换群。(其实可以用第5题的结论直接得出)设。由上的所有3元置换所组成的集合对于置换的乘法运算构成一个群。但它不是交换群，即8.设是群，.试证：（1）有相同的周期；（2）与有相同的周期。证明：（1）因为对任意整数，当且仅当。所以的周期是无限的，当且仅当的周期是无限的.若的周期是（正数），则的周期.由对称性有.因此，.故与的周期相
4、同。注意到，于是当且仅当当且仅当。因此与的周期相同。（2）由（1),只须证对任意整数，当且仅当.当时，结论显然成立。今设。则当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当.再设。令，由上有当且仅当时。注意到对任意,当且仅当，于是当且仅当.故当且仅当.9.设是群，令，对任意试证：是的子群.称为的中心，的元素称为的中心元素.13证明：任取,则对任意,有，从而因此，.故是的子群.10.设是一个群，且，和的周期分别为和，与互质，证明：的周期等于.分析：设周期为，利用定理17.2.5(2)，分两步分别证明,.证明：设的周期为。由得。于是(定理17.2.5)。又。令
5、。设的周期为.(定理17.2.5).又,于是，。但,故.从而于是，有。即,而，因此，,故.11.设是群的一个元素，其周期为是的子群，试证：如果，且与互质.则.分析：因为，互质，利用整除性质，见书定理16.1.3，易证.证明：因为,所以存在整数使得.于是.但,是的子群.故.12.设是群，且，和的周期分别为和.试证：若，则的周期等于与的最小公倍数.分析：设的周期为，和的最小公倍数为，要证明,只需证明，即可。利用定理17.2.5易证；利用整除的基本性质，定理16.1.1，分别可以将表示成,的倍数与余数之和，利用，可得,即是,的倍数，.证明（一）：
6、设和的最小公倍数为。的周期为。因为,所以，，从而.又设因为，所以。又，因此，，从而，。于是,即。因此.故.证明（二）：设的周期为。因为且，所以（否则，，从而得。此与的假设矛盾）。于是，，即是和的公倍数。若的最小公倍数不是而是，则，且此与的假设矛盾。得证。13.设是一个群，且，的周期为质数，且.试证：.分析：用反证法，则有非单位元，，利用为质数，整除性质有，容易推出矛盾。13证明：若,则存在且,即存在整数，使且。因是质数，所以存在整数,使.于是，，即,矛盾。故.14.写出的群表.解：设于是，根据置换的乘法运算规则，有15.证明：任何对换都是一
7、个奇置换，又恒等置换是偶置换.分析：根据对换的定义，命题17.3.4即可证。证明：(1)设为元对换，可分解成一些对换的乘积，显然有，由命题17.3.4可知，对换是一个奇置换。(2)设为元恒等置换，是元对换，显然有，由命题17.3.4可知，对换是一个偶置换。16.设元置换，其中互不相交，且.试证：的周期（即满足的最小正整数）等于的最小公倍数.分析：设周期为，最小公倍数为，根据定义易证；由互不相交，证。证明：设的周期为.的最小公倍数为。因互不相交，所以.于是。另一方面，因为且互不相交，因此，。于是，.由最小公倍数的性质知，,故.17.设是的两个
8、置换.（1）写出的轮换表示，并求出和的周期.（2）计算.解：(1).由题16有和的周期为。(2)1318.试找出的所有子群.解。设.其子群有：,19.设试判断和是否是的子群，并说
