高三数学第二轮专题讲座复习：关于垂直与平行的问题

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1、高三数学第二轮专题讲座复习：关于垂直与平行的问题高考要求垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题重难点归纳垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系1平行转化线线平行线面平行面面平行2垂直转化线线垂直线面垂直面面垂直每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的例如有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直典型题例示范讲解例1两个全等的正方形

2、ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证MN∥平面BCE错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键技巧与方法证法一利用线面平行的判定来证明证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行证法一作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面B

3、CE证法二如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴连结NH，由BF=AC，FN=AM，得∴NH//AF//BE由MH//BC,NH//BE得:平面MNH//平面BCE∴MN∥平面BCE例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC(1)若D是BC的中点，求证AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由错解分析(3)的结论在证必要性时，辅

4、助线要重新作出技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线(1)证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C(3)解结论是肯定的

5、，充分性已由(2)证明，下面证必要性过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1例3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直(1)求证AB1⊥C1D1；(2)求证AB1⊥面A1CD；(3)

6、若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角(1)证明∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1(2)证明连结D1D，∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD(3)解由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得

7、∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=，∴∠OCA=学生巩固练习1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()ABCD2在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则()Aa不和b垂直，但可能a∥bBa可能和b垂直，也可能a∥bCa不和b垂直，a也不和b平行Da不和b平行，但可能a⊥b3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号

8、)①X、Y、Z是直线②X、Y是直线，Z是平面③Z是直线，X、Y是平面④X、Y、Z是平面4设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________①过不在a、b上的一点