值域_求值域的方法大全及习题加详解

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1、求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域&常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例1、求函数的值域。（««）例2、求函数的值域。（««）答案：值域是：【同步练习1】函数的值域.（««）解：（2）、配方法：二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题

2、，均可用配方法，而后一情况要注意的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1、求函数的值域。（««）例2、求函数的值域。（«««）解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]例3、求。（««««）（配方法、换元法）解：………所以当时，有最小值-2。故所求函数值域为[-2，+∞）。例4、设，求函数的值域．解：，，．当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，函数的值域为．评注：配方法往往需结合函数图象求值域．例5、求函数的值域。（««««）（配方法、换元法）解：=，所以，故所求函数值域为[，+∞]。例6、求函数的值域。（«««）（配方

3、法）。【同步练习2】（«««）1、求二次函数（）的值域.（««）2、求函数的值域.（«««）3、求函数的最大值与最小值.（««««）4、求函数的最大值和最小值.（«««）5、已知，求函数的值域.（«««）6、若,试求的最大值。（««««）最大值。（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求的值域．解：令，则，，所以函数值域为．评注

4、：利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．小结：【同步练习3】求函数的值域。解：由，得。令得，于是，因为，所以。故所求函数值域为[-∞，]。例2、求函数的值域。解：设，则。所以，故所求函数值域为。【同步练习4】求函数的值域。解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：小结：【同步练习5】1、求函数的值域.（««）2、求函数的值域。（««««）解：因即故可令∴∵故所求函数的值域为3、已知函数的值域为，求函数的值域.（«««）（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域

5、困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1、求函数的值域。解：因为，所以，则由于，所以，解得。故所函数的值域为[-2，-]。求函数的值域例2、求函数的值域。解：因为，所以，即，所以，令，得，由，解得，故所函数的值域为[-2，]。【同步练习6】求函数，，的值域.（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．其题型是函数解析式具有明显的某种几何意

6、义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1、求函数的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．，，，，函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为．例2、求函数的值域.解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例3、求函数的值域.解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x

7、轴的交点时，，故所求函数的值域为例4、求函数的值域.解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：