《常微分方程》答案 习题2.3

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1、习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.解：，=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分，得：2．解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得3．解：则.因此此方程是恰当方程。（1）（2）对（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则==则故此方程的通解为4、解：，..则此方程为恰当方程。凑微分，得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因

2、为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解：6．2x(y-1)dx+dy=0解：=2x,=2x所以，=，故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0即d[e(x-2

3、x+2)+xy]=0故方程的解为e(x-2x+2)+xy=C8.2xydx+(x+1)dy=0解：2xydx+xdy+dy=0d(xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C9、解：两边同除以得即，故方程的通解为10、解：方程可化为：即，故方程的通解为：即：同时，y=0也是方程的解。11、解：方程可化为：即：故方程的通解为：12、解：方程可化为：故方程的通解为：即：13、解：这里，方程有积分因子两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：即：14、解：这里因为故方程的通解为：即：15、解：这里方程有积

4、分因子：两边乘以得：方程为恰当方程故通解为：即：16、解：两边同乘以得：故方程的通解为：17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。解：若方程具有为积分因子，（是连续可导）令，.，，，方程有积分因子的充要条件是：是的函数，此时，积分因子为.令，此时的积分因子为18.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与有关.充分性若该方程有只与有关的积分因子.则为恰当方程,从而,,.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)

5、，g(u)连续、可微且f(u)g(u),，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则=uf+uy+yf=+-yf===而=ug+ux+xg=+-xg==故=，所以u是方程得一个积分因子21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=e

6、xp(+)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证u+M=u+Nu(-)=N-Mu(-)=Nef(x)-Meg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y))由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：两边同乘以，令，线性方程有积分因子：，故原方程的积分因子为：，证毕！23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。证明：若，则又即为的一个积分因子。24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解

7、。证明：因为是方程的积分因子所以为恰当方程即，下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上：即当时，是方程的解。证毕！