固体物理 第四章 能带理论4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似

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1、§4.3三维周期场中电子运动的近自由电子近似1.模型和微扰计算——电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小,零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场周期性势场起伏量——微扰来处理电子的波动方程晶格周期性势场函数势场的平均值零级近似下电子的能量和波函数——空格子中电子的能量和波函数零级哈密顿量薛定谔方程电子的波函数能量本征值金属——个原胞构成，体积——周期性边界条件满足正交归一化条件电子的波矢电子的零级本征波函数微扰时电子的能量和波函数——近自由电子近似模型微扰的情形微扰后电子的能量电子的波函数一级能量修正电子的能量二级

2、能量修正一级修正电子的波函数矩阵元的计算引入积分变量应用当上式中——为整数则有任意一项不满足则有波函数一级修正电子的波函数因为波函数——不变波函数波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积微扰后电子的能量——一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大当和的零级能量相等——三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不再适用简单立方晶格中的倒格子空间A和A’两点相差倒格矢——两点零级能量相同——四点相差一个倒格矢，零级能量相同——三维情形中，简并态的数目可能多于两个2.布里渊区和能带——在k空间把原点和所有倒格矢

3、中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域简单立方晶格k空间的二维示意图——每个区域内E~k是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区——属于同一个布里渊区的能级构成一个能带——每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积——每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）——三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能带发生重叠——不同的布里渊区对应不同的能带——第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上能量最高点C二维正方格子——C点的能量比第二布里渊区B点高——第一布里渊区和第二布里

4、渊区能带的重叠用简约波矢表示能量和波函数能量和波函数——必须同时指明它们属于哪一个能带3.几种晶格的布里渊区1)简单立方格子——第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体倒格子基矢正格子基矢——简单立方格子——第一布里渊区2)体心立方格子——正格子基矢——倒格子基矢—边长的面心立方格子——第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体——第一布里渊区原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方格子第一布里渊区各点的标记3)面心立方格子——正格子基矢——倒格子基矢—边长的体心立方

5、格子——第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——第一布里渊区——八个面是正六边形——六个面是正四边形——第一布里渊区为十四面体——布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号布里渊区原点六方面的中心四方面的中心计为轴——方向计为轴——方向——将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画出了沿轴的结果