数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用

《数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、摘要本文通过对历史上多次数学悖论、数学危机发生背景、原因及解决方法进行研究，揭示数学发展从来不是一帆风顺的，历史上发生了一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，同时也给数学的发展带来新的进展，促进了数学的繁荣发展。同样，数学危机的产生、解决、又产生的无穷反复过程，推动着数学的发展，也是数学思想获得重要发展的过程。关键词：数学悖论数学危机数学思想进展解决IAbstractThisarticlethroughtothehistoryinthemultiplemathematicsparadox,ma

2、thematicscrisishasthebackground,thereasonandthesolutionconductstheresearch,therevelationmathematicsdevelopmentisalwaysnotproblem-free,inthehistoryhadasuccessionofmathematicsparadoxtovacillatethepeopletothemathematicsreliablebelief,simultaneouslyalsogave

3、mathematicsthedevelopmenttobringthenewprogress,promotedmathematicsprosperousdevelopment.Similarly,mathematicscrisis'sproduction,thesolution,producetheinfiniteprocess,ispromotingmathematicsdevelopmentrepeatedly,isalsomathematicsthoughtobtainstheimportant

4、developmenttheprocess.Keywords:mathematicalparadoxes;mathematicscrisis;mathematicsthought;Progress;solutionI目录摘要IAbstractII第一章绪论1第二章毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机32.1毕达哥拉斯学派32.2第一次数学危机62.3是无理数的证明82.4第一次数学危机的解决112.5第一次数学危机对数学发展的影响142.5.1第一次数学危机对数学思想的影响142.5.2欧几里得和《几何原本

5、》16第三章贝克莱悖论与第二次数学危机183.1微积分的萌芽183.2微积分基础的酝酿203.2.1积分学的发展203.2.2、微分学的发展233.3微积分的创建263.3.1牛顿与流数术263.3.2莱布尼兹与微积分313.4第二次数学危机的出现343.5微积分的完善363.5.1分析注入严密性373.5.2分析的算术化42第四章罗素悖论和第三次数学危机454.1罗素悖论与第三次数学危机454.1.1罗素悖论454.1.2一连串悖论474.2悖论分析与解决途径484.2.1公理集合论504.3数理逻

6、辑的兴起和发展534.3.1哥德尔的发现534.3.2数理逻辑的兴起与发展56第五章结论645.1三次数学危机的推动作用645.2悖论的重要作用64参考文献67致谢69第一章：绪论第一章绪论在数学发展的过程中，出现过许多数学悖论，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的悖论，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着悖论的产生与解决。而在悖论激化到涉及整个数学

7、的基础时，就产生数学危机。“悖论”一词，在西方曾叫“paradox”，原意是“令人难以相信”。另一种名称是“Antinomy”，原意是“反乎规范”。现在对“悖论”(paradox，Antinomy)一词的通常理解，是指与常识相违的命题、推论或自相矛盾的话语。笼统地讲，悖论是逻辑学的名词，是指一种导致矛盾的推理过程。数学中的悖论也如在科学与通常上对悖论的理解，尽管在科学领域中，数学历来被视为严格、和谐、精确的典型学科，正如大数学家希尔伯特曾问到“如果连数学思考都失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理

8、性呢？”事实上，数学发展从来不是直线式的，也并不总是和谐的，而是常常出现悖论，但正是这些重要悖论的产生，为未来的发展提供了契机，进而艰难的悖论总是以熠熠生辉的方式使之得到美妙的结论。但悖论在数学中也出现了一种严重的问题，所造成的事实是对数学基础的怀疑及对数学可靠性的动摇，甚至导致“数学危机”，正如著名逻辑学家A.塔斯基指出的“我们知道，一个有矛盾的理论一定包含假命题，而我们是不愿意把一个已被证明包含这种假命题的理论看成是可以接受的。我相信，每个人都同意这