小议“分类思想”

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1、小议“分类思想”分类讨论是初中数学一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点.在解题中，正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大地简化，达到化繁为简、化难为易、分而治之的目的，这是学习任何学科的一种科学方法.另外分类讨论的思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常生活中，都常常需要用到它。这里主要对初中数学中的分类讨论思想作个探讨。一、分类讨论的定义分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想在中考中占有十分重要的地位，相关习题具有明显

2、的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易、有中、也有难。题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以无孔不入的渗透到每个数学领域。每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然

3、后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”二、分类讨论的原则（1）同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例1有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角

4、形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。（2）互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。即要做到不重复。例如：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式b2-4ac，分b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac2a如果不加区分，得x>2，那就不

5、对了。事实上，既可以a>0，或是a=0，也可以a0时，则x>2；？摇当a=0时，原不等式为0·x>0，故不等式无解；？摇？摇当a0，a=0，a<0，分别处理，才获得正确的解。（4）多层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。例3（盐城市2011年压轴题）如图，已知

6、一次函数y=-x+7与正比例函数y？摇=x的图象交于点a，且与x轴交于点b.（1）求点a和点b的坐标；（2）过点a作ac⊥y轴于点c，过点b作直线l∥y轴.动点p从点o出发，以每秒1个单位长的速度，沿o—c—a的路线向点a运动；同时直线l从点b出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点r，交线段ba或线段ao于点q.当点p到达点a时，点p和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点p运动的时间为t秒.①当t为何值时，以a、p、r为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以a、p、q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在

7、，请说明理由.分析：第（2）题的第②小题，要分q点ba上、q点ao上，然后再分别分三种情况讨论等腰三角形三、分类讨论产生的时机（1）涉及的数学概念是分类定义的有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次函数，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。例4（盐城市2010年压轴题）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图

8、象的顶点为b，与y轴的交点为a，p为图象上的一点，若以线段pb为直径的圆与直线ab相切于点b，求p点的坐标；（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线pb的对称点为m，试探索点m是否在抛物线