高职院校不定积分换元积分法教学和解题技巧探讨

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1、高职院校不定积分换元积分法教学和解题技巧探讨　　摘要：本文是根据作者多年的高职高等数学教学工作经历，归纳总结的一些适合高职院校学生的解题技巧，旨在提高高职院校高等数学教与学的质量。　　关键词：不定积分；积分公式；换元法；求微法　　在高职院校高等数学不定积分的教学中，第一、第二换元积分法是积分运算中重要的积分方法，也是高等数学的主要组成部分。它是学习定积分、微分方程、多元函数重积分的基础，学生对它掌握的好与坏直接关系到高等数学学习的质量。而高职学生大部分数学基础都比较差、运算能力不强，换元积分法的有关习题本身又形式多样，导致学生对换元的过程不能很好地掌

2、握。学生普遍反映不定积分比求导和微分难多了，很多看似简单的题目就是不会做，弄不清何时使用第一类换元积分法，何时使用第二类换元积分法，甚至分不清第一换元法和第二换元法，更谈不上灵活应用。笔者在听课交流中也发现，许多教师没有将不定积分和求导紧密联系起来，而是平铺直叙、照本宣科，客观上造成了积分和微分的分裂。笔者根据多年在高职高等数学的教学经验和教学实际，在此简单探讨一下高职不定积分换元积分法的教学方法和解题技巧。　　一、基本的积分公式要牢记　　幂函数：∫xαdx=■+C（α≠-1）　　指数函数：∫exdx=ex+C　　对数函数：∫■dx=ln

3、x

4、+C　

5、　三角函数：∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C　　反三角函数：∫■dx=arctanx+C；∫■dx=arcsinx+C　　这七个公式其实就是七个导数公式的直接逆向使用，是使用最广的七个公式，也是掌握不定积分的基础。在教学过程中我们发现，很多学生不定积分解题出错多出在基本积分公式不熟悉，记混淆了，如将∫■dx=arctanx+C记成∫arctanxdx=■+C，这当然不可能解对题目。在教学过程中，为了能最大限度地让学生掌握凑微分法，在课堂上教师还应该让学生做一些简单的逆向求微分的题目。如：　　xdx=d（）x2dx=d（）　

6、　■dx=d（）■dx=d（）　　■dx=d（）exdx=d（）　　sinxdx=d（）cosxdx=d（）　　■dx=d（）■dx=d（）　　这些问题看似很简单，但在不定积分换元法的学习中起到基础的作用。有许多教师轻视这一部分的教学，往往一带而过，这就为后面的学习埋下了隐患。　　二、认清第一换元法的特征　　定理：设f（x）有原函数，u=φ（x）可导，如果∫f（x）dx=F（x）+C，则有：∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）u=φ（x）∫f（u）du=F（u）+C.　　简单地说，如果被积函数为∫f（φ（x））φ′（x）dx的形

7、式，要想套用∫f（x）dx=F（x）+C这个公式，必须要想办法将微分号d后面的x变成φ（x）（这就是凑微分的过程）。但实际的解题过程中，学生往往不知该如何凑微分、往哪个方向凑。我们在教学过程中，提出了一开始使用“求微法”来代替“凑微分法”求积分，等熟悉了换元法后再反过头来加深理解和学习“凑微分法”。　　求微法：如果发现有基本的积分公式中被积函数的变量不是x，就用一个新变量代替该函数，然后往基本积分公式化归。举例如下：　　例1：求不定积分∫（x+1）2013dx.　　分析：将这个题目和基本积分公式相比较，它和幂函数的形式很接近，但底数是（x+1），不是

8、x，令u=x+1，du=dx，题目化为∫（x+1）2013dx=∫u2013du，由此我们也知，要凑微分的话，需要将dx凑成d（x+1）.　　例2：求不定积分∫■dx.　　分析：将这个题目和基本积分公式相比较，被积函数有指数函数，但指数是（arctanx），不是x，要想对earctanx积分，dx要变成darctanx，令u=arctanx，du=■dx，题目化为∫■dx=∫eudu，由此我们也知，要凑微分的话，需要用■dx=darctanx.　　例3：求不定积分∫■dx.　　分析：将这个题目中出现arctan■，但它的变量形式为■，而不是x，由上面

9、积累的解题经验可知，当我们遇到初等函数时，最好引入中间变量，将其自变量化为基本初等函数。本题可以这样做：令u=■，dx=-■du，∫■dx=∫■du，之后的解题过程就很常规，在此不赘述了。　　在教学过程中，我们发现学生很喜欢求微法，它直接将求积分和求微分联系起来，可以说是积分和微分解题方法的无缝衔接。通过一些练习，再加强凑微分方法的教学，很多学生都顺利掌握了凑微分的方法。　　在实际解题过程中，经常会出现一些看上去很复杂的被积函数，这时可试着引入变量，将没有出现在基本积分公式中的部分简化，然后寻找思路。举例如下：　　例4：求不定积分∫■ln■dx.　　

10、分析：在这个积分问题里面，被积函数有自然对数出现，但基本积分公式中被积函数没有自然对数，这时可将ln■作为一