第3章 弹性本构关系的求解习题

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1、第三章弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：（a）当时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：（b）若使，则式中，，具有非零解的条件为（c）上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则，而且，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为（d）若

2、应变分量之间满足，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。19--解：各向同性条件下的广义虎克定律为将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）

3、分别得：　即　证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。　且，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有。习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力作用下，测得体积应变，若泊松比=0.3，试求该物体的弹性模量。解：设为第一应力不变量，而，据各向同性条件下的广义虎克定律为有：，其中体积应变，故有。习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以表示）。解：设柱体的轴线z轴，。因为横向变形被限制，所以。据各向同性条件下的广义虎克定律19--图3-1得：，，将此两式相减得：

4、，而泊松比的理论取值范围为，故，将其代入广义虎克定律得：从而，得解。习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为，，，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（，）。解：设该点的x，y轴向的正应变分别为，，剪应变为。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：，所以，，，解由此三式组成的方程组得该点的，和分别为：,。（1）计算该点的主应变：19--由、、和得该点的主应变为：，。（2）该点的最大剪应变。（3）计算该点的主应力：现、、，据向同性条件下的广义虎克定律得，即，所以将、、、及、代入上面三式得：,,。习题6、根据弹性应变

5、能理论的应变能公式，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：。解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为，弹性模量为，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即。19--同时轴向纤维间无相互作用力，即。据弹性应变能理论的应变能公式（其余分量产生的应变能为零）。O图3-2现在杆件上x处取一微段dx，其体积为，其应变能,而整个杆件的拉伸应变能为：而，故整个杆件的拉伸应变能为：（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层

6、受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即和。在杆件上沿轴向去取一微段，在此微段的横截面上取一个微面，在上的应力可为相同的，而。，。19--故，其中只与x有关。。杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的曲率为（3）圆轴扭转的变形能公式推导：设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有，。在圆轴轴向z处取一微段，在微段的横截面（圆截面）上的半径处取一微面积，上的应力可为相同的，那么。据平衡方程有：而，故，令。，而，故，只与z有关，，即。习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变

7、能密度的公式分别为：19--解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：，即。其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：，即，变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和，即其中，。所以无论如何有：，故。据虎克定律有：，。据虎克定律有：，19--习题8、如图所示结构，梁AB在A处固支，长为l，截面积为F1，截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁铰

8、接，截面积为F2，。材料弹性模量为E，