高中教材变式题8：直线与圆

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1、高中教材变式题8——《直线与圆》1.（北师大版必修2第93页A组第1题）已知点，求直线的斜率.变式1：已知点，则直线的倾斜角是（）A.B.C.D.解：∵，∴，∵，∴，故选（C）.变式2：（2006年北京卷）若三点共线，则的值等于.解：∵、、三点共线，∴，∴，∴，∴.变式3：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，∴，∴，∴或.由，得，∴，∴，∴直线的斜率为.2.（人教A版必修2第111页A组第9题）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（）A.B.C.D.解：令得，∴直线在轴上的

2、截距为；令得，∴直线在轴上的截距为，故选（B）.变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为或，即或.变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.解：依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.3.（人教A版必修2第124页A组第3题）求直线与坐标轴围成的三角形的面积.变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是.解：设所求直线方程为，依题意有，∴（无解）或，解得或.∴直线的方程是或.变式2：（2006年上海春季卷）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐

3、标原点，则△OAB面积的最小值为.解：设直线的方程为，则，当且仅当即时取等号，∴当时，有最小值4.变式3：已知射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.解：设，则直线的方程为.令得，∴，当且仅当即时取等号，∴当为（2，8）时，三角形面积最小.4.（北师大版必修2第117页A组第10题）求过点，且与直线平行的直线的方程.变式1：（2005年全国卷）已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A.0B.-8C.2D.10解：依题意有，解得，故选（B）.变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是.解：设所求直线方程为，则，解得或，∴直线方程为或.变式3：已知三条直线不能构成三角形，求实

4、数的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.5.（北师大版必修2第117页A组第7题）若直线和直线垂直，求的值.变式1：（1987年上海卷）若直线与直线平行但不重合，则等于（）A.-1或2B.-1C.2D.解：∵，∴且，∴且，解得，故选（B）.变式2：（2005年北京春季卷）“”是“直线与直线相互垂直”的（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，故选（B）.变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，且，求的值

5、.解：∵圆经过原点，且，∴是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线上，∴.6.（人教A版必修2第110页A组第3题）已知，，求线段的垂直平分线的方程.变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（）A.B.C.D.解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为（1，1），∴直线的方程是即，故选（B）.变式2：已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程是.解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.变式3：求点关于直线的对称点的坐标.解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.7.（北师大版必修2第118页B组第2题）光线自点射到点后被轴反射，求

6、反射光线所在直线的方程.变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是.解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为.若，则的取值范围是（）A.B.C.D.解：用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.变式3：已知点，在直线上求一点P，使最小.

7、解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.8.（人教A版必修2第144页A组3）求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（）A.或B.或C.或D.或解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为