向量与三角形的四心综合

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1、一、重心在△ABC中，AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得。这说明所在的直线过BC的中点D，从而一定通过△ABC的重心。另外，G为△ABC的重心的充要条件是或，（其中O为△ABC所在平面内任意一点），这也是两个常用的结论。例1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心思路分析：取AB边的中点M，则，由可得，所以，即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D。点评：本题当时，，此时点P为线段AB中点。也可当时，则P的轨迹也通过△ABC的重心。但是若取的三

2、角形以C为直角顶点，则点P过点C为垂心，得出了意想不到的错误，因而解题过程中也应注意解题方法的优化。二、垂心在△ABC中，由向量的数量积公式，可得，这说明所在直线是BC边上的高所在直线，从而它一定通过△ABC的垂心。例2（2005年全国卷）点O是△ABC所在平面内的一点，满足-6-，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点思路分析：由，得，所以，即。同理。因此O是△ABC三条高的交点，故选D。点评：解题中应注意实数运算、向量运算相同与不同之处，由不能推得（因为方向不相同），因此学生不要生搬硬

3、套地把代数运算照搬过来。三、内心在△ABC中，由两单位向量相加，可得所在直线是∠A的平分线所在的直线，从而一定经过△ABC的内心。例3（2003年全国卷）O是平面上定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心思路分析：设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为∠BAC的角平分线的方向，又，所以与的方向相同，而，所以点P在上移动，故P的轨迹一定是通过△ABC的内心，选B。点评：本题要求学生掌握为上的单位向量，以及菱形的对角线平分角等知识。例4．（2006年陕西卷理）已知非零向量与满足且-6-

4、，则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形思路分析：1．根据四个选择支的特点：本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择支，故选D。2．由于所在直线穿过△ABC的内心，则由知，（等腰三角形的三线合一定理）；又，所以，即△ABC为等边三角形，故选D。点评：思路1抓住了该题选择支的特点而采用了验证法，是处理本题的巧妙方法；思路2要求学生掌握是与同向的单位向量，并能领会向量表达式与三角形的内心的关系。四、外心（人教版第一册（下）第151页第6题）已知点O是△ABC所在平面内一点，

5、求证：△ABC是正三角形。由已知条件可知，△ABC的重心、外心都是点O，因此△ABC为正三角形。例5．（2005年全国卷）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=_____________思路分析：1．特殊法：设△ABC为直角三角形，则O为斜边BC中点，H与A重合，所以，即m=1。2．由，又，因此，即，所以，AGHDBCO又，且-6-，因此m=1。3．利用特殊法推得m=1，下面来证明，即。设BC中点为D，连线AD、OH且，且G为重心，因此，又，则AH∥OD，可得△AHG∽△DOG，所以。点评：思路1利用特殊法；思路2利用实数与向量的乘法进

6、行运算；思路3对特殊性进行证明，运用了△ABC的外心、垂心、重心三心共线，再利用三角形相似，巧妙地证明结论。若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。1

7、是的重心2为的垂心.3设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量平分,)，令（)化简得4典型例题：-6-例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示，分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.3已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，

8、则的值为（3）4若的外接