弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

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1、弹性力学简明教程(第四版)_习题解答【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。xM图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：l上（y=0）0-1左(x=0)-10右（x=b）10mfx?s?fy?g?y?h1???g?y?h1??s??gh1代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：??x?x?0?

2、??g(y?h1),??xy?x?0?0;??x?x?b???g(y?h1),??xy?x?b?0;②在小边界y?0上，能精确满足下列应力边界条件：???yy?0???gh,??xy?y?0?0③在小边界y?h2上，能精确满足下列位移边界条件：?u?y?h2?0,?v?y?h?02这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚?=1时，可求得固定端约束反力分别为：Fs?0,FN???ghb1,M?01由于y?h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：?b???dx???gh1b??0yy?h2??

3、b??0??y?y?h2xdx?0?b????dx?0???0xyy?h2⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）l00m-11fx(s)0-q1fy(s)qy??h2hy?2(?y)y?-h/2??q，(?yx)y?-h/2?0，(?y)y?h/2?0，(?yx)y?h/2??q1②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有?h/2(?)dx??FS???h/2xyx?0?h/2???h/2(?x)x?0dx??FN?h/2?(?)ydx?

4、?M???h/2xx?0③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux?l?0,vx?l?0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：?F?Fyx??q1l?FN??q1l?FN?0,FN?FNM??0,FS?FS??ql?0?FS???ql?FSq1lh121ql2?MA?0,M?M'?FSl?2ql?2q1lh?0?M?2?M?FSl?2由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故2?h/2(?)dy?F??ql?FN1N???h/

5、2xx?l?q1lhql2?h/2?M?FSl????h/2(?x)x?lydy?M??22??h/2(?)dy?F???ql?Fxyx?lSS????h/2【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】由于hl，OA为小边界，故其上可用圣维qb2qb212南原理，写出三个积分的应力边界条件：x(a)上端面OA面上面力x?0,y?qb由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有图2-19bbxqb?b?dx??dx??qdx

6、???0y?0b??0?y?y?02?bbx?bqb2?b???0??y?y?0xdx???0yxdx??0q??x?dx?b?212(对OA中点取矩)???b??0??yx?y?0dx?0?(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则qb?b?dx??F??N??0?y?y?02?qb2?b??0??y?y?0xdx??M?12??b?dx?0??0?xy?y?0?综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-14】检验下列

7、应力分量是否是图示问题的解答：3y图2-20图2-21y2（a）图2-20，sx=2q，?y??xy?0。b【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx?fy?0??x??yx??y??xy??0??0显然满足?x?y?y?x（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有??2?2?2q等式左=?2?2???x??y?=2?0=右b??x?y?应力分量不满足相

8、容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。MFsS*y，?xy?(取梁的厚度b=1)，（b）图2-21，由材料力学公式，?x?IbIx3y3qx222得出所示问题的解答:?x??2q3，?xy?-(h?4y)。又根据平衡微分3lh4lh3qxy