第九讲 极限与探索性问题的解题技巧

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1、第九讲极限与探索性问题的解题技巧第九讲极限与探索性问题的解题技巧【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点：1．数学归纳法①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主

2、要思想方法.在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意．2.数列的极限①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型．3．函数的极限①此部分为新增内容，本章内容在

3、高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限．②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算．③利用两个重要极限求函数的极限．④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间．5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而极限题是高考中的得分点．6.注意掌握以下思想方法①极限思想：在变化中求不

4、变，在运动中求静止的思想；②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．【例题解析】考点1数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即

5、an－a

6、无限地接近于0），那么就说

7、数列{an}以a为极限.注意：a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（

8、q

9、＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;例1.(2006年湖南卷）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则()A.B.C.D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用.[解答过程]由和得故选A.例2．（2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数,再求极限的能力.[解答过程]，由，所以，所以为1.例3.（2007年福建卷

10、理）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于()（）A．B．C．D．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用.[解答过程]故选D例4.(2007年天津卷理)设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项．[解答过程]故填3小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1）C=C（C为常数）;（2）（）p=0（p＞0）;（3）=（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）;（4）qn=0（

11、q

12、＜1

13、）.例5.(2007年重庆卷理)设正数a,b满足则（）（A）0（B）（C）（D）1解:故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想.考点2函数的极限1.函数极限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于