2018版高中数学人教a版）必修5同步教师用书：必修5第3章3.4基本不等式

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1、3．4　基本不等式：≤1．了解基本不等式的证明过程．2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)[基础·初探]教材整理1　基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．3．算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术

2、平均数为，几何平均数为；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　)(2)若a≠0，则a＋≥2＝4.(　　)(3)若a>0，b>0，则ab≤2.(　　)(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)(5)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.(　　)【解析】　(1)×.任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式

3、a＋b≥2成立．(2)×.只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．(3)√.因为≤，所以ab≤2.(4)×.因为不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；而≥成立的条件是a，b均为非负实数．(5)√.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√教材整理2　基本不等式的应用阅读教材P99例1、例2，完成下列问题．1．用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若x＋y

4、＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2.2．基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数．(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．(　　)(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.(　　)(3)当x>1时，函

5、数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.(　　)(4)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.(　　)【解析】　(1)√.由基本不等式求最值条件可知．(2)√.因为≤＝＝2，所以ab≤4.(3)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数f(x)的取到最小值3.(4)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而≥＝9，所以m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，m＋n取到最小值18

6、.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×[小组合作型]利用基本不等式比较代数式的大小　(1)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是______．(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋≥2；②若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2；③若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；④不等式＋≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________．【精彩点拨】　(1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c两两乘积的和，联想基本不等式求解．(2)

7、解本小题关键是弄清基本不等式适用的条件．【自主解答】　(1)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac，∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a>0，b>0时，lga∈R，lgb∈R，不一定有lga>0，lgb>0，故lga＋lgb≥2不一定成立，故②错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故③正确；由

8、基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故④错误．【答案】　(1)p>q　(2)③1．在理解基本不等式时，要从形式和内含两方面去理解，特别要关注条件是否满足．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.[再练一题]1．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由.【解】　∵a>0，b>0，∴＋≥，即≥(当且仅当a＝