张雪明老师自主招生解题思路(上午)

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1、自主招生解题思路（上午课程）01高校自主招生备考指南一、不忘高中以前的数学例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆中，延长长度为8的弦至，使，作圆的切线，为切点，直径（在的劣弧上），若交于，求的长。二、重视高中现在的数学例如：（2012卓越）已知，直线与圆，求（1）直线与圆有交点的概率；（2）直线与圆的交点个数的数学期望。三、关注高中以后的数学例如：（2012香港大学）（1）求证；（2）求证；（3）求。30四、关注学校特色及培养理念2010北大自主招生（三校联招）数学部分1．（仅文科做），求证：．2．为边长为的

2、正五边形边上的点．证明：最长为．（25分）3．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．（25分）4．向量与已知夹角，，，，，．在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在，使得为等差数列．（25分）3002解题思路生成～简介一、名词解释T——Tie[taɪ]（联结）L——Link[lɪŋk]（联系）A——Associate[ə'soʃɪet]（联想）Tie（联结）现代汉语词典：结合在一起。百度：结合，连接。如：画一条直线把这两点联结起来。Link（联系）现代汉语词典：彼此

3、结上关系。百度：广义而言，就是事物之间的有机关联，相互联络和结合。Associate（联想）现代汉语词典：由于某人或某物而想起其他相关的人或事物；由于某概念而引起其他相关的概念。百度：联想是暂时神经联系的复活，它是事物之间联系和关系的反应。二、TLA（三联）解题思路生成法如图：当你凭直觉认定这是一个男人的头时，就会由此找到他的眼镜、鼻子甚至鼻毛……；而当你凭直觉认定这是一只老鼠时，就会由此发现它的耳朵、眼睛、胡子、尾巴……。30人们普遍具有直觉基础上的联想与建构能力。是“男人”还是“老鼠”？这是直觉选择的结果；

4、而由此获得的“眼镜”、“鼻子”、“鼻毛”、“耳朵”、“眼睛”、“胡子”、“尾巴”……就完全是人们在先前的直觉选择基础上，通过联想与建构的结果了。这一心理学现象的重要启示在于，在数学学习中，可以充分利用直觉选择基础上的联想建构力，引导学生进行“再发现”。基于认识论的联结、联系、联想哲学思想，我创设并长期实践TLA解题思路生成法。其基本思想见下表三、TLA（三联）解题思路生成法的核心理念TLA解题思路生成法，提倡：——面对新颖的问题情景，强调构建生动的心智图象。——分析过程中要善于捕捉问题的暗示信息。——构造方法宜

5、充分利用“原型”的启发功能。——多进行一题多解、多题一解的尝试；多进行问题求解的最优化、简易化探索；跳出题海，追求问题解决的本质化方法，以不变应万变；以智慧战胜经验，以想法生成方法。四、TLA（三联）解题思路生成法的“五化”操作五化特殊化一般化抽象化符号化结构化五、典型示例l联结问题1:求值：(1)；(2)；(3)；(4).30l联系问题2:研究：线段、三角形、四面体的重心。结论：见下表线段的重心三角形重心四面体重心定义性质坐标公式拓展结论l联想问题3：为常数，当最小时，的值为_________________

6、_______.问题4：有一个三棱锥和一个四棱锥,它们的所有棱长都相等,现分别选择它们的完全相等的一个三角形面,将这个面完全粘合在一起,得到一个多面体,问这个多面体有多少个面?说明理由.30l心智图像的合理性体现在直观性、简洁性和准确性数学思路的生成通常需要借助合理的心智图像，需要学习者有条理地思考，所谓“从混沌中发现有序”就是这个道理。同样的一个线条，可以画成无章的杂图乱线，也可以绘出高傲的天鹅、俏丽的飞鸽。心智图像的合理性集中体现在直观性、简介性和准确性上。问题5：四个小孩玩球时打碎了玻璃。老师：“是谁把玻

7、璃打碎的？”宝宝：“是可可。”可可：“是毛毛。”多多：“不是我。”毛毛：“可可说谎。”如果他们四个人中只有一人说的是真话，那么打碎玻璃的是谁？问题6：判断方程根的个数.引申1：判断方程根的个数.引申2：判断方程根的个数.3003思路生成～联结一、方法模型模型1：模型2：二、典型示例问题1：已知是圆内部一点，则直线与此圆的位置关系是.问题2：天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是（）A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.抛物线问题3：用3个3，5个5排成一排，问能够排成多少个不

8、同的8位数？问题4：求以、、、、为未知数的五元一次不定方程的非负整数解的组数.问题5：三角形中，是中点，若，，试用表示；引申1：三角形中，是上点，若，且，，试用30表示；引申2：四边形中，是中点，是中点，若，，试用表示；引申3：四边形中，是上点，是上点，若，且，，试用表示；引申4：四面体中，，，、分别是、上点，①若、分别是、中点，试用表示；②若，试用表示.问题6：线性距离之和最小问题研