河南省洛阳市2011-2012学年度高二下学期期末考试 物理(扫描版 有答案)

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1、因子分析新理论方法与教学实践林海明12（1.广东商学院经济贸易与统计学院2.广东省电子商务市场应用技术重点实验室广东广州510320）摘要：近期以来，为了求出因子分析模型的精确解，建立了因子分析模型L及其解的新理论，求出了因子分析模型的精确解，新理论方法具有结构简单、特性好、使用方便等较全面的优势，其充分完善了因子分析的模型和理论。与此不一致的估计解—非零的巴特莱特因子得分、非零因子载荷阵的极大似然估计不存在，它们与主因子估计等误差较大；因子分析原模型及其解的顺序不能降维。为了方便地进行因子分析新理论方法的教学，这里沿着问题

2、提出法教学模式的具体路径和严格的数学求解，展开因子分析新理论方法的教学。实践表明：教学效果是思路清晰、方法直接、理论较完善、容易抓住要点。关键词：因子分析；新；理论；方法；教学O引言多元统计分析目前是统计、经济管理、生物等专业本科生或硕士生的常规课程，因子分析是其中的主要内容，但因子分析的原模型和理论是很不完善的[1]，原方法中、至今还没有一个可推荐为具有全面的优势，原理论的多个估计解、时时都激起相当激烈的争论[2]。这些给教学上带来了相当的困惑。文[3]结合因子分析的约束条件和降维目的，应用因子分析新理论—因子分析模型L及

3、其解[4]，始终坚持用等式进行推证，进一步完善了因子分析的模型和理论，该方法具有较全面的优势，使因子分析成为结构简单、特性好、使用方便的理论方法。如何将因子分析新理论方法融入到因子分析的教学内容中去呢？基于问题导向型教学模式有继承性、问题发现性、互动性的特点，有利于学生创造意识和能力的培养，故本文沿着问题提出法教学模式的具体路径：问题的提出、模型的建立、模型的严格数学求解、应用步骤、因子分析模型和理论的进一步完善、举例和注意事项等，展开因子分析新理论方法的教学。经过四届学生的教学实践表明：教学效果是思路清晰、方法直接、理论较

4、完善、容易抓住要点。以下除第3部分外，因子分析模型和解均用因子分析模型L及其解。1问题的提出和模型建立已有理论中，主成分分析能找到原始变量与(不相关)主成分的线性等价性，能达到降维目的，但主成分载荷系数无直接的统计意义，有时命名不清晰，对变量解释不力，怎样找到载荷系数有直接统计意义、命名较清晰、变量解释较有力的综合变量解决问题呢？实际问题中，如某公司对n(如30)名应聘人员的知识和能力进行测试，出了p(如40)道题，题中的内容包括如下几个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识

5、等，将每一个方面称为因子，怎样求解这些因子？评出合适人选呢？将主成分分析向前推进一步，就是因子分析。因子分析也是将具有错综复杂关系的多个变量综合为较少的几个主要因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行较清晰的分类。他也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。1904年CharlesSpearman从智力测验得分的统计分析方面提出了因子分析，目前这一方法的用处已为经济、社会、生物、医学、体育等领域许多实际工作所证实。因子分析模型的建立：设为正向化、标准化随机向量为的相关系数矩阵,秩。设因子载荷

6、阵因子、误差因子载荷阵误差因子，因子对的方差贡献。因为,秩,设想是的线性组合,写为数学的矩阵表示是21因子分析模型L[4]求，使,(1),(2)达到最大(降维的自然要求),。(3)其中的选取以因子对有代表性为前提,称为误差项(随的不同产生变异)。模型中因子载荷、因子方差贡献和变量共同度的统计意义(1)由、有，因子载荷阵中是变量与因子的相关系数，它反映了第i个变量在第j个因子上的相当重要性。(2)将因子载荷阵中各列元素的平方和记为：。称为因子对的方差贡献，即表示同一因子对变量所提供的方差贡献之总和，它是衡量因子相对重要性和降维

7、的指标。(3)变量的共同度定义为因子载荷阵中第i行元素的平方和，即。为了说明它的统计意义，将式两边求方差，有1=,这里此式说明变量的方差由两部分组成：第一部分为共同度，它刻划前个因子对变量的总方差所作的贡献，越接近1，说明该变量的几乎全部原始信息都被所选取的前个因子说明了。第二部分是误差因子所产生的方差，称为误差因子方差，它是使方差为1的补充值。设是第个元素为1的维单位列向量。性质1设C为的正交旋转阵，为旋转后共性方差，则=(正交不变性)。证明：。[1][证毕]。2模型严格数学意义上的求解先给出主成分分析的结论。设的特征值为

8、、…、、0(一般假定),≥…≥＞0(达到降序排列最大化),秩,、这里(单位阵)，记是以为对角元素的对角矩阵。设主成分,主成分分析(Hotelling，1933)的解[1]=，(4)。(5)记标准化主成分载荷阵：。(6)因为是标准化的，由式(4)、式(5)，将主成分进行标准化有标准化主成分：