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时间:2018-08-01
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1、《幸运52》栏目中的猜价问题中央电视台《幸运52》栏目中有一个猜商品价格的游戏。规则如下:给出一种商品让参赛者猜价格,主持人给出提示语"高了""低了"。例如参赛者猜某商品价格为100元,主持人说"高了",参赛者又猜50元,主持人说"低了",参赛者又猜80元,主持人说"低了"。这样一直猜下去,直到猜中为止。时间规定为1分钟,谁猜中的商品价格最多谁就获胜,并且商品归参赛者所有。真是一种有趣的游戏。 下面我们提出一个问题:如果某参赛者已知道某商品价格X为a~b中的某一整数(即X∈a,a+1,a+2,…,b),但不知道其真正价格,参赛者应当如何猜才能最快猜出商品价
2、格?也就是说,无论X是集合a,a+1,a+2,…,b中哪一个整数,用最佳方法去猜,猜中商品价格所猜的次数最多只需多少次? 我们先对特殊情况进行探讨 (1)当X∈1时,(1=2'-1),显然猜中价格所需次数最多为1次。 (2)当X∈1,2时,(2=2'),显然猜中价格所需次数最多为2次。 (3)当X∈1,2,3时,(3=22-1)。如第1次猜4,如未猜中,则X∈1,2,由(2)知最多还需猜2次才能猜中。(如第1次猜1,结论与此同)。第1次猜2,如未猜中,如主持人说"高了"(或"低了"),那么第2次只需猜1(或3)即可。(可见此种猜法最佳)。由此可知,当
3、X∈1,2,3时,最多只需猜2次。 (4)当X∈1,2,3,4时,(4=22)。如第1次猜4,如未猜中,则X∈1,2,3。由(3)知最多还需猜2次才能猜中。如第1次猜3,如主持人说"低了",则X=4。如主持人说"高了",则X∈1,2。由(2)知最多还需猜2次才能猜中。(此猜法为最佳猜法)。 如果第1次猜1或者,结论与上同。 综上可知,当X∈1,2,3,4时,最多只需猜3次。 (5)当X∈1,2,3,4,5时,(5=22+1)。 如第1次猜5,如未猜中,则X∈1,2,3,4时。由(4)知最多还需猜3次才能猜中。 如第1次猜4,如未猜X∈5或X∈1,
4、2,3。由(1)(3)可知最多还需猜2次就可猜中。(此猜法最佳)。 如第1次猜3,如未猜中,则X∈1,2或4,5。由(2)知最多还需猜2次就可猜中。 如第1次猜1或2与第1次猜5或4结论相同。 综上可知,当X∈1,2,3,4,5时,最多只需猜3次。 类似上面的证法我们可以知道: 当X∈1,2,3,4,5,6时,(6=22+2),最多只需猜3次。当X∈1,2,3,4,5,6,7时,(7=23-1),最多只需猜3次。 从上面这些特例看出:当X∈1时最多只需猜1次;当X∈1,2,…,∝时(2'≤∝≤22-1)时,最多只需猜2次;当X∈1,2,3…,∝(
5、22≤∝≤23-1)最多只需猜3次。于是我们猜想: 当X∈1,2,3…,∝(2n-1≤∝≤2n-1,∝∈N)时,用最佳方法猜最多只需猜几次。 证:(1)当n=1,2,3时,由前面的探讨可知猜想成立。 (2)假设当n=k时,猜想成立。即当X∈1,2,3…,∝(2k-1≤∝≤2k-1,∝∈N)时,用最佳方法猜最多只需K次就可猜中商品价格。 当n=k+1时,X∈1,2,3…,∝(2k≤∝≤2k+1-1,∝∈N)。我们第1次猜2k,如未猜中,则X∈1,2,…,2k-1=A或X∈2k+1,2k+2,…,∝=B。因∝-2k∈[o,2k-1],可见集合A有2k-1
6、个元素,集合B的元素不多于,2k-1个。由归纳假设可知,最多还需猜K次就可以集合A或B中猜中商品的价格。 所以当n=k+1时猜想也成立。 由(1)(2)可知,猜想成立。 从上面这些特例和猜想的证明可以看出:对于商品价格X∈1,2,3…,∝(2n-1≤∝≤2n-1,∝∈N),最佳猜价方法为:2n-1±2n-2±2n-3±2n-4±…±2o 第1次第2次第3次第4次第n次 说明:当X∈1,2,…,∝(2n-1≤∝≤2n-1)时,第1次猜2n-1,如主持人说"高了",第2次就猜2n-1-2n-2;如主持人说"低了",第2次就猜2n-1+2n+2。由这一方
7、法,第K次所猜之数只需在第K-1次所猜数上"加上或减去2n-k"。(1≤K≤n,加或减由主持人提示语确定。)。例1:某参赛者已知道某商品价格为1∽15中的某一整数,但不知道真正价格,主持人让参赛者猜商品价格,向最多只需几次就可猜中商品价格? 解:设商品价格为X元,则X∈1,2,3,…,15且23〈15≤24-1。由前面的结论可知最多只需4次就可猜中。 例2:某参赛者已知道某商品价格为50-100元中的某一整数,但不知道其真正价格,主持人让参赛者猜商品价格,向最多只需几次就可猜中商品价格?假设商品价格为68元,我们应当如何猜呢? 解:设商品价格为X元,则
8、X∈50,51,52,…,100,于是X-49∈1,
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