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时间:2018-07-31
《高中新课程数学(新课标人教a版)选修2-1《3.1.3 空间向量的数量积》评估训练》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、3.1.3 空间向量的数量积运算双基达标 (限时20分钟)1.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中的真命题是( ).A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析 对于A,可举反例:当a⊥b时,a·b=0;对于C,a2=b2,只能推得
2、a
3、=
4、b
5、,而不能推出a=±b;对于D,a·b=a·c可以移项整理推得a⊥(b-c).答案 B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(
6、 ).A.2·B.2·C.2·D.2·解析 2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错,只有C正确.答案 C3.空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为( ).A.B.C.-D.0解析 因为·=·(-)=·-·=
7、
8、
9、
10、cos〈,〉-
11、
12、
13、
14、cos〈,〉,又因为〈,〉=〈,〉=,
15、
16、=
17、
18、,所以·=0,所以⊥,所以cos〈,〉=0.答案 D4.已知a,b是空间两个向量,若
19、a
20、=2,
21、b
22、=2,
23、a-b
24、=,则cos〈a,b〉=________.解析 将
25、a-b
26、=化为(a-b)2=7,
27、求得a·b=,再由a·b=
28、a
29、
30、b
31、cos〈a,b〉求得cos〈a,b〉=.答案 5.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,
32、a
33、=3,
34、b
35、=1,
36、c
37、=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-13.答案 -136.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:(1)·;(2)·解 如图所示,设=a,=b,
38、=c,则
39、a
40、=
41、c
42、=2,
43、b
44、=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=·(+)=b·[(c-a)+b]=
45、b
46、2=42=16.(2)·=(+)·(+)=(c-a+b)·(a+c)=
47、c
48、2-
49、a
50、2=22-22=0.综合提高(限时25分钟)7.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为( ).A.B.2C.D.解析:∵=++∴2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,∴
51、
52、=
53、.答案:D8.已知a,b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( ).A.30°B.45°C.60°D.90°解析 ∵·=(++)·=·+
54、
55、2+·=
56、
57、2=1,∴cos〈,〉==,∴a与b的夹角为60°.答案 C9.已知
58、a
59、=3,
60、b
61、=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.解析 由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,∴18+(λ+1)×3×4cos135°+16λ=0,即4λ+6=0,∴λ=-.
62、答案 -10.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______.解析 不妨设棱长为2,则=-,=+,cos〈,〉===0,故填90°.答案 90°11.如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求证:BD⊥平面ADC.证明 不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.·=(-)·=·-·,由于·=·(+)=·=1,·=
63、
64、·
65、
66、cos60°=××=1.∴·=0,即BD⊥AC,又已知BD⊥AD,AD∩AC=A,
67、∴BD⊥平面ADC.12.(创新拓展)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.(1)证明 =+,=+.∵BB1⊥平面ABC,∴·=0,·=0.又△ABC为正三角形,∴〈·〉=π-〈·〉=π-=.∵·=(+)·(+)=·+·+2+·=
68、
69、·
70、
71、·cos〈,〉+2=-1+1=0,∴AB1⊥BC1.(2)解 结合(1)知·=
72、
73、·
74、
75、·cos〈,〉+2=2-1.又
76、
77、=)2==
78、
79、.∴cos〈,〉==,∴
80、
81、=2,即侧棱长为2.
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