高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习) g3.1069棱锥_286

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1、g3.1069棱锥一.知识回顾:棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）附：以知⊥，

2、，为二面角.则①，②，③①②③得.注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，

3、则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令得，已知则.iii.空间四边形OABC且四边长相等，

4、则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.一.基础训练:1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是()2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的()垂心重心外心内心．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以为棱，以面与面为面的二面

5、角的大小是()4、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（）A、1B、C、D、三.例题分析:例1．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为，,(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱长、底面边长和斜高(见图)。解：（1）作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则，，在与中，＝＝(其中为与底面所成的角，设为)故。（2）在中，侧棱=，，∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，在中，斜高；例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平

6、面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面与平面的交线，∵//平面∴//，∴为的中点。（2）过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得，由，得，∴∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得，∴（3）过作，∵平面，∴，∴平面即是到平面的距离，，∴图31—3PC1CBAA1B1例3．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，(1)求证：二面角是直二面角；(2)求二面角的正切值；图31－31PC1CBAEA1B1D(3)若该三棱锥被平行于

7、底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．证(1)如图，在三棱锥中，取的中点．由题设知是等腰直角三角形，且．∴．∵平面平面，∴平面，∵∴，∴平面，∵平面，∴平面平面，即二面角是直二面角．解(2)作，为垂足，则．∴是二面角的平面角．在中，，则由，得＝＝，∴所求正切为＝．(3)∵∴分别是的中点．∴，．∵＝＝，．∴，∴几何体的侧面积四、作业同步练习g3.1069棱锥1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；