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1、§4.2闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理1.(有界性)若函数在闭区间[a,b]连续,则函数在闭区间[a,b]有界,即>0,[a,b],有
2、
3、≤.证法:由已知条件得到函数在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界,可应用有限覆盖定理,从而得到>0.证明:已知函数在[a,b]连续,根据连续定义,[a,b],取=1,>0,()[a,b],有
4、
5、<1.从而()[a,b]有
6、
7、≤
8、
9、+<+1即[a,b],函数在开区间()有界。显然开区间集{()
10、[a,b]}覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理(4.1定理3),存在有限个开区间,设
11、有n个开区间{()
12、[a,b]},k=1,2,3,…,n也覆盖闭区间[a,b],且()
13、[a,b],有
14、
15、≤+1,k=1,2,3,…,n取=max{}+1.于是[a,b],{1,2,…,n},且()[a,b],有
16、
17、≤+1≤定理2(最值性):若函数在闭区间连续,则函数在区间能取到最小值m与最大值M,即:使:与证明:根据定理3,数集有界。设:sup105用反证法:假使有18、内至少存在一点,使=0证明:不妨设<0,>0.用反证法,假设[a,b],有≠0,将闭区间二等分,分点为.已知≠0,如果>0,则函数在闭区间的两个端点的函数值的符号相反;如果<0,则函数在闭区间[,b]的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间与[,b]必有一个使函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[],有<0,再将[]二等分,必有一个闭区间,函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[],有<0,用二分法无限进行下去,得到闭区间{[]}(),且1)[a,b][]…[]……;2)==0对每个闭区间[],有<0,根据闭区间套定理(4.1定理1),存在唯一数属
19、于所有的闭区间,且==(1)而[a,b],且≠0,设>0.一方面,已知函数在连续,根据连续函数的保号性,>0,:
20、
21、<,即,有>0;105另一方面,由(1)式,当n充分大时,有[],已知<0,即函数在中某点的函数值小于0,矛盾.于是,≯0.同法可证≮0.所以闭区间[]内至少存在一点,使=0.二、一致连续性已知:在连续,即:,,(限定,取于是:,,。:由此看出,对同一,的不同的点,使上式成立的的大小不同,换句话说,的大小不仅与给定的有关,同时也与点在中的位置有关。区间有无限多个,相应地存在无限多个,那么这无限多个中是否存在一个公用的,(即最小的),使,:呢?事实上,在区间上的连续
22、函数中,有的存在公用的,有的不存在公用的。(存在的,就是一致连续)定义:设函数定义在区间上,若,,,:,则称函数在区间上一致连续(均匀连续)比较与连续概念的异同。在连续,,。:105。(一致连续的,是任意的,与无关;连续中的是固定的,与有关一致连续是整体性质,是关于区间来谈的。连续是局部性质,是针对区间中的一点来谈的。)从定义可知:“一致连续连续”,但不能说“连续一致连续”。非一致连续(在)定义:,,,:例1、2定理4(一致连续性):若在连续,则在一致连续。证法:应用反证法与致密性定理证明:假设函数在[a,b]非一致连续,即,,,[a,b]:
23、
24、<,有
25、
26、≥.取=1,,[a,b
27、]:
28、
29、<1,有
30、
31、≥.取=,,[a,b]:
32、
33、<,有
34、
35、≥.…取=,,[a,b]:
36、
37、<,有
38、
39、≥.…这样的闭区间[a,b]构造两个有界数列{}与{}根据致密定理(4.1定理5)数列{}存在收敛的子数列{},设=[a,b]因为
40、
41、<,所以,也有=.一方面,已知函数在105连续,有
42、
43、=
44、
45、=0即当充分大时,有
46、
47、<另一方面,,有
48、
49、≥矛盾,即函数在闭区间[a,b]一致连续.定理指出:函数在闭区间上连续与一致连续等价。证明:函数在内连续,函数在内一致连续的必要充分条件是与都存在。3(3).证明:函数在一致连续证明:将分为,,,,取于是,,,:即:在一致连续。又在连续,在连续,因
50、此在一致连续。即:,,,,取,那么,,且时,有,或,于是,,,,即:在一致连续。1058.证明:若函数在连续,且,则函数在一致连续。证明:已知即:,,,。,又在连续,在连续。因此在一致连续即::,,,,取于是:,,,即在一致连续。例:用一致连续定义证明:若函数在与都一致连续,则函数在一致连续。证明:已知在一致连续,在一致连续即:,,,:,,,:取,,,,当,或时,已有,若,,则即:,,,:105在上一致收敛。10.证:在上连续,在上一致连续。,,,:。取定自然数,使,即现将等分成个小区间:,