cantor-bernstein-schroeder

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1、康托尔-伯恩斯坦-施罗德(Cantor-Bernstein-Schroeder)定理是集合论中的一个基本定理。该定理陈述说:如果在集合A和B之间存在单射f :A→B和g :B→A，则存在一个双射h :A→B.依据这两个集合的势,这意味着如果

2、A

3、≤

4、B

5、并且

6、B

7、≤

8、A

9、，则

10、A

11、=

12、B

13、,即A与B等势.显然,这是在基数排序中非常有用的特征.证明:令并令则对任意的a∈A定义映射如果a不在集合C中,那么a不在集合C0中.因此由C0的定义可知a ∈ g[B].由于g是单射,他的逆映射g –1(a)存在.接下来验证h : A → B就是想要的双射.·满射:对任何

14、b ∈ B.如果b ∈ f[C],那么存在a ∈ C使得b = f(a).因此由h的定义可知b = h(a).如果b不属于f[C],定义a = g(b).由C0的定义知,a不属于C0.由于f[Cn]是f[C]的一个子集,因而b不属于任何一个f[Cn],所以由集合Cn的递归定义知,a = g(b)不属于Cn+1 =g[f[Cn]].因此,a不属于C.那么根据h的定义b =g –1(a) =h(a).·单射:若h(a)=h(b),则有a∈C∧b∈C,a∉C∧b∉C,a∈C∧b∉C,a∉C∧b∈C四种情况，对于前两种情况，由f与g –1是单射得a=b，对于第三种

15、情况，有f(a)=g –1(b)⇒g(f(a))=g(g –1(b))⇒g°f(a)=b,又由前提a∈C，而C在g°f下封闭，于是b∈C，但是由前提得b∉C，矛盾了，因此第三种情况不可能出现，同理第四种情况也不可能出现，这说明ran(f

16、C)∩ran(g –1

17、AC)=∅。综上若h(a)=h(b)，一定有a=b。在日常交流中，基数或量数是对应量词的“数”，例如在以下句子中的“一”及“四”：“有一个橙，有四个柑”。序数是对应排列的“数”，例如在以下句子中的“（第）一”及“（第）二”：“这人一不会打字，二不懂速记，所以不可以做秘书”；“第二个人正在进来”。在

18、数学上，基数或势，即集合中包含的元素的“个数”（背景知识：势的比较），是日常交流中基数的概念在数学上的精确化（并使之不再受限于有限情形）。有限集合的基数，其意义与日常用语中的“基数”相同（见上段），例如{a,b,c}的基数是3。无限集合的基数，其意义在于比较两个集的大小，例如整数集和分数集的基数相同，是以它们是一样大；整数集的基数比实数集的小；是以后者是比较大的集合。历史Aleph-0,最小的无限基数康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时,首次引入基数概念。他最先考虑的是集合{1,2,3}和{2,3,4}，它们并非相同，但有相

19、同的基数。骤眼看来，这是显而易见，但究竟可谓两个集合有相同数目的元素？康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。最先被考虑的无穷集合是自然数集N={1,2,3,...}及其无限子集。他把所有与N能一一对应的集为可数集。大出康托尔意外，原来N的所有无限子集都能与N一一对应。他把N的基数称为，是最少的艾礼富数。康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，稍

20、后他得出著名的对角论证法，实数集是不可数的。实数集的基数，记作c，代表连续统。接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。康托尔随后提出连续统假设：c就是第二个超穷数,即継之后最小的基数。多年后，数学家发现这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。动机在非形式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于0的自然数(就是0,1,2,...)。计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。无

21、限基数只出现在高级数学和逻辑中。更加形式的说，非零数可以用于两个目的:描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有精确的正好大小的集合，比如3描述'c'在序列<'a','b','c','d',...>中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合{a,b,c}。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置示象(aspect)导致序数，而大小示象被这里描述的基数所普遍化。在基数形式定义背后

22、的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。对于有限