一元二次方程专题1

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1、第一讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x2–2x=0（2）x2–9=0（3）(1－3x)2＝1；（4）（t－2）（t＋1）＝0（5）x2＋8x＝2（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（1

2、3）x（x－6）＝2（14）（2x＋1）2＝3（2x＋1）（15）13（16）（17）（18）（19）（20）；【例2】用适当的方法解下列关于的方程（提高题）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。【巩固】用适当的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；13（3）。（4）。【拓展】解方程：；【例3】解方程：。【巩固】解方程：（1）；（2）。【例4】解关于的方程：。【巩固】解关于的方程：。13【例5】已知方程与有公共根。（1）求的值；（2）求二方程的所有公共根和所有相异根。【巩固】是否存在某个实数，使得方程和有且只有一个公共的实根？如果

3、存在，求出这个实数及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。第二讲：一元二次方程的判别式【知识梳理】一、一元二次方程根的情况：令。1、若，则方程有两个不相等的实数根：；2、若，则方程有两个相等的实数根：；3、若，则方程无实根（不代表没有解）。二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。13【例题精讲】【例1】已知方程；则①当取什么值时，方程有两

4、个不相等的实数根？②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当取什么值时，方程没有实数根？【巩固】1、已知关于的方程。求证：无论取什么实数，方程总有实数根；2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。【拓展】关于的方程有有理根，求整数的值。【例2】已知关于的方程。（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。13【巩固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于的方程的两根，则___________。2、在等腰三角形ABC中

5、，A、B、C的对边分别为，已知，和是关于的方程的两个实数根，求三角形ABC的周长。【拓展】已知对于正数，方程没有实数根，求证：以长的线段为边能组成一个三角形。【例3】设方程有三个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。【巩固】已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是___________________。【例4】设，证明在方程13中，至少有两个方程有不相等的实数根。第三讲：一元二次方程根与系数的关系【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）设方程的两个根，则。韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：（1）；（

6、2）；（3）；（4）；（5）。【例题精讲】【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。（1）x2－2x＋1＝0；（2）x2－9x＋10＝0；解：______，解：______，（3）2x2－9x＋5＝0；（4）4x2－7x＋1＝0；解：______，解：______，（5）2x2－5x＝0；（6）x2－1＝0解：______，解：______，【例2】设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_______；（2）x12x2+x1x22=_______；（3）=__

7、_____（4）（x1+x2）2=_______；（5）（x1－x2）2=_______；（6）x13+x23=_______．13【例3】解答下列问题：（1）设关于的一元二次方程有两个实数根，问是否存在的情况？（2）已知：是关于的方程的；两个实数根，且，求的值。【巩固】1、已知关于的方程有两个实数根，且，则_____________。2、已知是方程的两个实数根，则代数式的值为_________。【例4】已知关于的方程：。（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根满足，求的值及相应的。【巩固】已

8、知关于的方程。（1）当为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两个实数根满足，求的值。13【例4】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是多少？【巩固】已知△ABC的两边AB、AC的长