20.二阶曲线渐近线的几种求法 作者：哈丽旦木.吾布力 指导老师：阿扎提.艾则孜

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文二阶曲线渐近线的几种求法学生姓名：哈丽旦木·吾布力学号：20060101043系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-3指导教师：阿扎提·艾则孜13学士学位论文BACHELOR’STHESIS完成日期：2011年05月3日13学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要本文通过二阶曲线渐近线的射影定义和一些重要性质，从不同的角度探讨了二阶曲线渐近线的四种求法和应用.关键词：二阶曲线;渐近线;共轭.13学士学

2、位论文BACHELOR’STHESIS目录中文摘要1引言31．二阶曲线渐近线的定义31.射影定义32．渐近线的重要性质33.求渐近线的几种求法43．1把二阶曲线的渐近线看作为自共轭直径43.2二阶曲线渐近线看作为无穷远切点处的直线53.3渐近线作为通过二阶曲线中心的切线53.4把渐近线看作过原点的两条直线64.应用举例6方法1（把二阶曲线的渐近线看作为自共轭直径）7方法2（二阶曲线渐近线看作为无穷远切点处的直线）7方法3（渐近线作为通过二阶曲线中心的切线）8方法4（把渐近线看作过原点的两条直线）9总结11参考文献12致谢1

3、313学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言二阶曲线的渐近线，定义为二阶曲线上无穷远点处的普通切线.求二阶曲线渐近线的方程问题是在高等几何和解析几何中比较难，容易犯错的问题之一.事实上，二阶曲线与无穷远直线的交点和中心所连的直线就是渐近线.它是二阶曲线的切线，但却是普通切线而不是无穷远直线，它上的切点是二阶曲线上的无穷远点而不是普通切点.渐近线都通过二阶曲线的中心，所以渐近线也是二阶曲线的直径，也就是说它是自共轭直径.本文主要介绍二阶曲线的射影定义，二阶曲线渐近线的有关性质和四种求法和应用.1．二阶曲线渐近线的定

4、义1.射影定义定义1.1过二阶曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二阶曲线的渐近线.由此定义，渐近线有下面的重要性质：2．渐近线的重要性质渐近线有以下重要性质:定理1.二阶曲线的两条渐近线相交于中心，而且调和分离任何一对共轭直径.定理2.双曲线有两条实的渐近线，椭圆有两条虚的渐近线，抛物线以无穷远直线为渐近线.事实上，二阶曲线与的交点和中心所连的直线就是渐近线.13学士学位论文BACHELOR’STHESIS3.求渐近线的几种求法以下我们介绍二阶曲线渐近线的四种不同的求法：3．1把二阶曲线的渐近线看作为自共轭

5、直径因为渐近线切二阶曲线于无穷远点，所以它通过本身的极点，这就是说渐是二阶曲线的自共轭直径，则由二直径共轭的条件：（3.1）即设二直径为，其中则成为共轭的条件是（3.1）注：在直角坐标系下直径方程中的是直径直线的斜率，而方程中的是直径直线的斜率.由上面可以知道因为二直径自共轭，所以令得（*）解方程（*）得，则把它代入直径方程得这二阶曲线渐近线的方程即为：和13学士学位论文BACHELOR’STHESIS3.2二阶曲线渐近线看作为无穷远切点处的直线由于二阶曲线与无穷远直线的交点满足：（）而这方程表示通过原点的两条直线分别与二

6、阶曲线的两条渐近线平行，因此若设为二阶曲线的中心，则渐近线方程为（3.2）所以求出中心后即可得渐近线.3.3渐近线作为通过二阶曲线中心的切线因为二阶曲线对于通过中心坐标的切线方程即为不难计算，对于中心，因为因为所以切线方程变为：即渐近线为13学士学位论文BACHELOR’STHESIS或（3.3）令，则得渐近线方程为：或3.4把渐近线看作过原点的两条直线二阶曲线以齐次坐标表示为：这二阶曲线方程和无穷直线的交点满足（3.4）这方程又可表为，即（3.4）式表示过原点的两条直线，这两条直线分别和二阶曲线的渐近线平行，通过中心，作

7、这两线的平行线，即以（3.5）则由（3.4）推出二阶曲线的中心也通过原点，所以渐近线的方程是：4.应用举例例求双曲线的渐近线方程.解：13学士学位论文BACHELOR’STHESIS方法1（把二阶曲线的渐近线看作为自共轭直径）设直径为自共轭直径的渐近线的方程表示为：根据直径自共轭的条件（*）得有解出1，所以渐近线的方程是和即渐近线的方程是和方法2（二阶曲线渐近线看作为无穷远切点处的直线）解：原方程先求出中心，因为系数行列式为13学士学位论文BACHELOR’STHESIS所以,,因此中心坐标,即为代入（3.2）得渐近线的方

8、程为:分解因式得和化简得所求渐近线的方程即为和方法3（渐近线作为通过二阶曲线中心的切线）解：因为因为（3.3）表示二直线，故可由求将已知的值代入上式得：13学士学位论文BACHELOR’STHESIS由此得因此渐近线的方程为即化简得所求渐近线的方程即为和方法4（把渐近线看作过原点的两条直线）解：因为原方