立体几何——棱锥的体积

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1、棱锥的体积、表面积及二面角（1）一个四面体有两组对棱互相垂直，则其第三组对棱也互相垂直，且这时每一个顶点在对面三角形所在平面内的射影，都是该三角形的垂心；反之也成立.特别地:正四面体的三组对棱都互相垂直，且每一个顶点在对面正三角形所在平面内的射影，都是该正三角形的中心.（2）任意一个四面体都可补成一个平行六面体：若是以四面体的侧棱作为平行六面体的面对角线，则四面体的体积，等于对应平行六面体的体积的三分之一;若是以四面体的侧棱作为平行六面体的棱，则四面体的体积，等于对应平行六面体的体积的六分之一特别地:任意一个正四面体都可补成一个正方体；任意一个三组对

2、棱分别相等的四面体都可补成一个长方体.（3）若四面体满足，，，则该四面体可补成一个长方体（4）结论1：若三棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心（或若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心）。此结论主要针对线面角的问题结论2：若三棱锥的侧面与底面所成的二面角相等，且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。此结论主要体现利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角的基本方法结论3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。此结论主要针对线、面

3、之间的垂直问题6练习：1.如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（）2.已知中，AB=2，BC=1，，平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是（）A．B．C．D．3.三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是()A.4B.6C.8D.104.正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C平面角余弦值为（）A.B.C.D.5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1

4、B所成的角的大小是()A．60°B．75°C．90°D．105°6.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．则平面CEB1与平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)17.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为()A.B.C.D.8.在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于6(A)(B)(C)(D)9.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则

5、．10.如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为.11.在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为．12.四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则．13.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__14.在三棱锥T-ABC中，TA,TB,TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，下列命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心；③△是锐角三角形；④；其中正确的是__________________（写出

6、所有正确的命题的序号）15.四边形ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=AB=2MA（1）求证:AC∥平面PMD;(2)求直线BD与平面PCD所成的角的大小;(3)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小16.在五棱锥P—ABCDE,PA=AB=AE=2aPB=PE=2a,BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°（1）求证：PA⊥平面ABCDE（2）求二面角A—PD—E的大小（3）求点C到平面PDE的距离。6答案:1.B2.D3.A4.解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AM

7、C为二面角A−PB−C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得5.解答：C。建立空间直角坐标系，以所在的直线为轴，在平面上垂直于的直线为轴，所在的直线为轴。则，6.解：C．延长CE、D1F、DA交于一点G，设棱长为1，可知B1C＝，B1G＝，CG＝，故B1G⊥B1C；同理，B1D1⊥B1G，∴∠CB1D1即为所求二面角的平面角，易求∠CB1D1＝60°，其正弦值为．7.A8解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1××sin×2=3．而四面体ABCD的体积=×平行六面体体积=．故选B．9.解：如图，

8、.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,6即.又