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1、第4章 向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1一、计算题与证明题1．已知,,,并且．计算．解：因为,,,并且所以与同向，且与反向因此，，所以2．已知,,求．解：（1）（2）得所以3．设力作用在点,求力对点的力矩的大小．解：因为,所以力矩所以，力矩的大小为4．已知向量与共线,且满足,求向量的坐标．解：设的坐标为，又则（1）第17页共17页又与共线，则即所以即（2）又与共线，与夹角为或整理得（3）联立解出向量的坐标为5．用向量方法证明,若一个四边形的对角线互相平分,则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边
2、形的对角线互相平分，则有由矢量合成的三角形法则有所以即平行且等于四边形是平行四边形6．已知点,求线段的中垂面的方程．解：因为,中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得化简得第17页共17页这就是线段的中垂面的方程。7．向量,,具有相同的模,且两两所成的角相等,若,的坐标分别为,求向量的坐标．解：且它们两两所成的角相等，设为则有则设向量的坐标为则（1）（2）所以（3）联立（1）、（2）、(3)求出或所以向量的坐标为或8．已知点,,,，(1)求以,,为邻边组成的平行六面体的体积．(2)求三棱锥的体积．(3)求的面
3、积．(4)求点到平面的距离．解：因为，,,所以第17页共17页（1）是以它们为邻边的平行六面体的体积（2）由立体几何中知道，四面体（三棱锥）的体积（3）因为，所以，这是平行四边形的面积因此□(4)设点到平面的距离为，由立体几何使得三棱锥的体积所以习题4.2一、计算题与证明题1．求经过点和且与坐标平面垂直的平面的方程．解：与平面垂直的平面平行于轴，方程为(1)把点和点代入上式得(2)(3)由（2），（3）得,代入（1）得消去得所求的平面方程为第17页共17页2．求到两平面和距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为，由点到
4、平面的距离公式得所以3．已知原点到平面的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为,求的方程．解：设截距的比例系数为，则该平面的截距式方程为化成一般式为又因点到平面的距离为120，则有求出所以，所求平面方程为4．若点在平面上的投影为,求平面的方程．解：依题意，设平面的法矢为代入平面的点法式方程为整理得所求平面方程为5．已知两平面与平面相互垂直，求的值．解：两平面的法矢分别为，，由⊥，得求出第17页共17页6．已知四点,,,,求三棱锥中面上的高．解：已知四点,则由为邻边构成的平行六面体的体积为由立体几何可知，三棱锥的
5、体积为设到平面的高为则有所以又所以，因此，7．已知点在轴上且到平面的距离为7,求点的坐标．解：在轴上，故设的坐标为，由点到平面的距离公式，得第17页共17页所以则那么点的坐标为8．已知点．在轴上且到点与到平面的距离相等,求点的坐标。解：在轴上，故设的坐标为，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得化简得因为方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。习题4.3一计算题与证明题1．求经过点且与直线和都平行的平面的方程．解：两已知直线的方向矢分别为，平面与直线平行，则平面的法矢与直线垂直由⊥，有（1）由⊥，有（2）联立（
6、1），（2）求得,只有又因为平面经过点，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。第17页共17页2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线的方程．解：设所求直线的方向矢为，直线与平面平行，则⊥，有（1）直线与直线相交，即共面则有所以（2）由（1），（2）得，即取，，，得求作的直线方程为3．求通过点)与直线的平面的方程．解：设通过点的平面方程为即(1)又直线在平面上，则直线的方向矢与平面法矢垂直所以(2)直线上的点也在该平面上，则（3）由（1），（2），（3）得
7、知，将作为未知数，有非零解的充要条件为即，这就是求作的平面方程。第17页共17页4．求点到直线的距离．解：点在直线上，直线的方向矢,则与的夹角为所以因此点到直线的距离为5．取何值时直线与轴相交?解：直线与轴相交，则有交点坐标为，由直线方程得，求得6．平面上的直线通过直线：与此平面的交点且与垂直,求的方程．解：依题意，与的交点在平面上，设通过交点的平面方程为即（1）已知直线的一组方向数为所以由直线与平面垂直得第17页共17页所以得将，代入（1）得化简得故所求直线方程为7．求过点且与两平面和平行直线方程．解：与两平面平
8、行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即直线的方向矢为将已知点代入直线的标准方程得8．一平面经过直线（即直线在平面上）：，且垂直于平面，求该平面的方程．解：设求作的平面为(1)直线在该平面上，则有点在平面上，且直线的方向矢与平面的法矢垂直所以(2)(3)又平面与已知平面垂直，则它们的法矢垂直所以(4)联立(2),(3)
