高等数学复旦大学出版社习题答案九

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1、习题九1.求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).解：曲线在点的切向量为当时，切线方程为.法平面方程为即.（2）联立方程组它确定了函数y=y(x),z=z(x)，方程组两边对x求导，得解得205在点M0（1，-2，1）处，所以切向量为{1，0，-1}.故切线方程为法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)将方程y2=2mx,z2=m-

2、x两边分别对x求导，得于是曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为法平面方程为.2.t(0

3、面x-2y+z=6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量为.已知平面法向量为.且∥，故有解得x=2,y=-1,此时，z=-2.即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为.切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即x-2y+z-2=0.5.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1)z=x2+y2,点M0(1,2,5);205(2)z=arctan,点M0(1,1,);解：（1）故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为z-5=2(x-1)+4(y-2).即2x+4y-z=5.法线方程为（2

4、）故曲面在点M0(1,1,)的切平面方程为z-=-(x-1)+(y-1).法线方程为.6.证明：曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设F(x,y,z)=xyz-a3.因为Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为它为一定值。7.解：平面与曲面在的切平面的法向量为从而平面的方程为：又的方向向量为

5、205由求得在上取一点，不妨取求得由于在平面上，代入平面方程中可求得.8.求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。解：9.求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：的方向余弦为故10.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为所以在点处切线斜率为205法线斜率为.于是∵∴11.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2

6、);(4)z=(x2+y2);(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,

7、所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.(3)解方程组得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=－2(4y-y2),205Zxy=4(3－x)(2－y)Zyy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-2

8、4，C=0，B2－AC>0，所以(0,