自动控制原理论文

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1、线性系统的状态观测器设计摘要：研究了一类线性时滞系统的状态观测器设计问题，首先基于时滞系统的Lyapunov稳定性方法给出了状态观测器条件，然后在一定的条件下提出了两种时滞系统的状态观测器设计算法。数值例子说明了该方法的简单、有效性。关键词：时滞系统;状态观测器;稳定性；Lyapunov函数；特征结构配置0引　言状态观测器设计是控制理论中一个基本而重要的问题，它在系统反馈设计的实现、系统监控、故障诊断中都有很重要的应用。而众所周知，时滞系统区别与定常系统的一个主要方面在于时滞系统的维数是无限的，这

2、给时滞系统的分析与控制带来了很多困难。由于实际的控制过程大多数都不同程度的含有迟延，因此，研究时滞系统的状态观测器设计问题具有很重要的意义和很大的必要性。它也为解决时滞系统的控制问题提供一条途径。关于时滞线性系统的状态观测器设计问题已经得到了很广泛的研究，文[1]通过广义坐标变换将时滞的影响转化为仅与系统的输出关联。由于这一变换的复杂性使得求解较为复杂。文[2-3]基于频谱配置的方法来设计观测器。在多输入与多输出的情况下，这种方法的计算量很大。本文根据已有的稳定性结果[9-10]来设计时滞系统的状

3、态观测器，给出了状态观测器条件和简单、有效的设计方法。在本文中，表示矩阵的转置；表示矩阵的逆矩阵的转置；表示适当阶的单位阵；表示矩阵的谱范数。1问题的描述考虑下述含有时滞的系统：其中为状态向量，为控制输入，为被控输出，常值时滞，为系统初始值，，为相应维数的常阵，且满足下述条件：条件A:A,C可检测。对系统（1）设计观测器的动态方程为:本文的目的是研究该类观测器条件及设计方法，即对任意的，，求取矩阵使得系统(1)和(2)满足：2　观测器条件引理1　若矩阵的所有特征值的实部均小于零，则称矩阵渐近稳定，

4、这时必存在唯一的对称正定阵P满足下述Lyapunov方程：定理1　在假设下，存在矩阵使系统（2.2）构成系统（2.1）的一个全维状态观测器的充分条件是存在对称正定矩阵满足:和证明：考虑到，并将其代入到（2.2）中，则全维状态观测器的动态方程化为令，则利用（2.1）与（3.4）就可以导出观测误差所满足的状态方程为：下面证明在定理1的条件下趋近于零。由假设可知，存在矩阵使矩阵渐进稳定,并且从引理1可知，存在唯一的正定矩阵满足（3.2）。构造Lyapunov函数为：则利用（3.2）式可得沿系统（3.5）

5、对的导数为由(3.3)进一步可得如下的不等式所以由Lyapunov稳定性理论可知,系统(3.5)渐进稳定，从而推论1　如果Lyapunov方程（3.2）存在唯一的对称正定解满足则系统（2.1）的状态观测器可以简化为证明　由于（3.2）存在唯一的对称正定解，而且矩阵满足（3.10），故由定理1可知，矩阵，系统（2.1）的状态观测器可以简化为（3.11）。推论2　当能观时，则一定存在矩阵使系统(2.2)构成系统(2.1)的一个全维状态观测器。证明　由假设知，存在矩阵使矩阵渐进稳定，并且从引理1可知，存

6、在唯一的正定矩阵满足（3.2）。当能观时，由线性系统的极点配置理论可知，对任意小的正数，总存在矩阵使成立，取,则有故由定理1可知，存在矩阵使系统（2.2）构成系统（2.1）的一个全维状态观测器。3　观测器设计基于定理1提出的观测器条件，当能观时，可以给出观测器设计问题的下述算法。算法1：第一步：利用线性定常系统的镇定算法求取矩阵，使稳定。第二步：求解Lyapunov方程（3.2）的正定对称解P.第三步:如果矩阵使（3.10）成立，则观测器参数，可以利用第一步求取的矩阵进行观测器设计.第四步：如果（

7、3.10）不成立，利用线性系统的极点配置方法进一步求解矩阵使（3.3）)成立。当不能观测时，基于Lyaounov方程（3.2）的参数化解，给出观测器的设计方法，首先给出观测器设计所需的两个引理。引理2[6]　假设能观测，为一组共轭封闭复数，则满足下述关系的矩阵和矩阵由下述公式给出其中满足约束:，当时。约束：而和满足下述右即约分解式的右互素多项式矩阵：引理3[7]　假设能观测，令，设的右特征向量矩阵为，特征值集合为，则Lyapunov方程（3.2）的参数化解可由下述公式给出其中基于本文提出的观测器条

8、件与矩阵P的参数化形式，当不能观测时,系统(2·1)的观测器设计问题可转化为下述的优化问题其中特别，当时，上述优化问题化为其中由此可以得到不能观测时观测器设计问题的下述算法。算法2：第一步：求解满足（4.5）的右互素多项式矩阵和。第二步：列写关于闭环极点及参向量的参数化形式。第三步：列写指标函数与约束条件的参数化形式。第四步：求解优化问题（4.11）。如果，则观测器参数，将优化参数带入（4.3）和（4.4）求取矩阵进一步利用(4.2)算得矩阵。第五步：如果，则进一步求解优化问题(4