索伯列夫(sobolev)空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿)

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1、索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理AbstactKeywords目录摘要…………………………………………………………………………………..IAbstract……………………………………………………………………………..II引言………………….……………………………….……………………………....1一、预备知识………………………………………………………………………..21.1弱

2、导数定义…………………………………………………...…………………21.2Sobolev空间……………………………………….…………………21.3引理…………………………………………..……………….…………………2二、嵌入定理的证明与集中紧性原理………………………………………………52.1嵌入定理的证明………………………...………………………………………52.2集中紧性原理………………………………………….………………………102.3结论…………………………………………………………………………….12参考文献…………………………

3、…………………………………………………..13引言索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev发展起来的。这些空间是由弱可微函数所组成的Banach空间，它们是为研究偏微分方程的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的。苏联数学家索伯列夫(S.L.Sobolev)从1938年开始，在研究弹性体中的波动等问题时，建立了一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等．他以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间理论(现在国际上称为Sobolev空间)，同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理

4、论基础，Sobolev这些开创性的工作在他的名著“泛函分析及其在数学物理中的应用”(1950)中作了系统的总结．从那时以来，这种理论已有很广泛的发展．1957～1959年，意大利E.Gagliado提出了一套与Sobolev不同的证法．1956～1958年苏联Slobodeokii等人推广了Sobolev的工作，引进了“分数次求导”等概念，形成了分数次空间，称Slobodeokii空间Sobolev空间的嵌入定理在函数空间理论、偏微分方程、偏微分方程数值解等学科中有重要应用。一般区域上Sobolev空间的嵌入定理的证明已经给出，但证

5、明一般过于复杂，限制了它在通常学科中的使用。本文研究Sobolev空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明。一、预备知识1.1弱导数的定义设，对于给定的重指标，如果且对于所有的，有并记，则称是的阶弱导数.1.2Sobolev空间设对，是非负整数，对本身及其直到阶弱导数在内都是可和的函数集合：（1）在空间内引入范数（2）1.3引理引理1设是具强局部Lipshitz性质的区域，简称型区域，则：（1）存在开集，，…,,使．（2）存在开集，使．（3）设，，则存在一个充分小的，当，，且时，有一个使，．（4）对任意，存在顶点在原点的多面体，使得

6、时，。（1）存在，，及常数，使得当，且时，有，使（2）存在一个顶点在原点的多面体，当时，。此外存在，当，且时，。（3）存在向量，当时，，对任意。引理2（Gagliardo定理）设是中的有界锥形区域，对任意的,存在开集，，…，，满足：（1）；（2）对每一个，存在一个顶点在原点的平行多面体，使，其中且其中直径小于等于。引理3设，是有界区域，是列紧的充要条件为：（1）是中的有界集，即存在，使对任意，；（2）是中等度连续，即对任意，存在，当时（对任意）其中是的延拓函数，定义为引理4设是中的有界开集，为正整数，使，，，，则引理5设是中边长为2

7、的立方体，其边分别平行于坐标轴，而是由经平移得到的型区域，又，，，则其中是与无关的常数。引理6设是中边长为1的立方体,表示边长为的立方体，其表面积分别平行于的表面，如果，而，则（对任意，）其中是与无关的常数。引理7设是中具有锥性质的有界区域，简称有界锥形区域，，若，则，其中是与无关的常数。引理8设，其中，。则下列结论成立：（1），对任意，对几乎处处。（2），对任意。其中是与无关的常数。引理9设是中的开集，，则。引理10设是中的开集，，则。引理11设是中的一个区域，，如果，，则对任意的，有。二、嵌入定理的证明与集中紧性原理2.1嵌入定

8、理的证明定理1设是中的有界锥形区域，。（1）如果，，则；（2）如果，，，则；（1）如果，，则.证明由Gagliardo定理（引理2），有界锥形区域可以分解成一系列型区域的并，即，其中是型区域，为有限数。如果，，则所以.再由Gaglia