初中数学竞赛专题选讲-三点共线

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1、教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)初中数学竞赛专题选讲三点共线一、内容提要1.要证明A，B，C三点在同一直线上，A。　B。　　C。　　　　　　　　　　　常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角　　　　②连结AB，AC证明AB，AC重合　　　　③连结AB，BC，AC证明　AB＋BC＝AC　　　　④连结并延长AB证明延长线经过点C　2.证明三点共线常用的定理有：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③三角形中位线平行于

2、第三边并且等于第三边的一半④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤两圆相切，切点在连心线上⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，PN⊥CD求证：M，N，P三点在同一直线上证明：过点P作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝90，∠3＝90　　　∴∠1＋∠3＝180

3、　　　　　　　　　　　　　∴　M，N，P三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上　已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点求证：M，O，N三点在同一直线上证明一：连结MO，NO∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线∴MO∥AB，NO∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://

4、www.sp910.com/)∴　M，O，N三点在同一直线上证明二：连结MO并延长交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵MO是△DAB的中位线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　　∵N也是BC的中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴点N，和点N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　M，O，N三点在同一直线上　　例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P求证：M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：∵∠A＋∠B＝90，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　连结PM，P

6、N　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据直角三角形斜边中线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4.在平面直角坐标系中，点A关于

7、横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点　　Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：连结OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵A，B关于X轴对称，　　　　　　　　C　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠COY＋∠BOX＝90　　　　　　

8、　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴B，O，C　三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　B和C是关于原点O的对称点　　　　　　　　　　　B