数学在地图学中的应用

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1、数学在地图学中的应用数学在地图学中的应用钟业勋1,2胡宝清1　　　　乔俊军3　　　（1，广西师范学，1a北部湾环境演变与资源利用教育部重点实验室，1b资源与环境科学学院，南宁，530001；2，广西测绘局，南宁，530023；3，武汉大学测绘学院，武汉，430079）摘要：地图表示对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象，这些表示对象间的数量关系和空间形式的客观在，使以数量关系和空间形式为研究对象的数学，与地图学关系密切。本文论述了拓扑学和函数论、几何学、代数学、微积分、图论、集合论、概率论与数理统计、分形几何、模糊数学等在地图学中的应用，并对应用了多种数学工具和数学方法的数理

2、地图学作了简要介绍。数学在地图学中的广泛应用说明，数学在促进地图学的发展中发挥着重要作用。关键词：数学；拓扑学；代数学；微积分；集合论；地图学；应用　　数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门学科[1]。地图表示和反映的对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象，也即是地球上大气圈、水圈、生物圈、岩石圈和土壤圈交互作用的区域内的事物[2]。空间地学实体间的数量关系和空间形式的客观存在，决定着数学与地图学之间存在着十分密切的关系。本文根据数学在地图学中的应用，分别对拓扑学和函数论、几何学、微积分等进行论述。1拓扑学和函数论　　地图投影是地图的数学基础。地图投影也就是建立平面上

3、的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度经度表示）之间的函数关系，即（1）不同的，，决定着不同的具体的地图投影[3]。　　地图投影变换，定义为两个二维场间的拓扑变换。若视地球表面为一剪开的具有曲线坐标，的二维场，那么，地图投影及其逆变换就是投影变换的一个特例[4]。所谓拓扑变换，是一种既不撕破也不捏合，但允许将图伸缩和弯曲的变换[5]。图1中的两幅南美洲地图，直观地表示了拓扑变换的含义。　　根据拓扑学中网的数学定义，可以导出地图学中坐标网、水网、道路网等地图网络的数学定义[6]。　　因变量是自变量的函数[7]。（1）式中，x，y因给定的，值而变，x，y是，的函

4、数。获得x的f1和获得y的f2是两个不同的函数。对应、映射、变换都是函数的同义词[8]。　　地图符号是地图的语言。地图符号本质上是制图物体在三重拓扑映射下的平面象。这三重拓扑是：三维空间X到地球椭球面S的映射f:X→S，椭球面S到制图者认知结构Y的映射g:S→项目来源：国家自然科学基金资助项目（40871250，40661005）；教育部新世纪优秀人才支持计划专项（NCET-06-0760）.广西自然科学基金重点项目(0832021Z).　作者简介：钟业勋（1939-），男，教授，研究方向：地图学理论。E-mail:gxzyxun@163.comY以及Y到二维平面Z的映射q:Y

5、→Z。设x为制图区域A内的制图物体，，则为其椭球面上的投影，为制图者关于x及f(x)的知识，它以观念形态存在于制图者的认知结构Y中。则为地图符号。制图者根据地图专题选定x的属性，通过主观干予保证x与qgf(x)的一一对应性[9]　　图1南美洲在两种不同投影中的形状Fig1.FormofSouthAmericainTwoDifferentProjection　　2几何学　　以著名的第五公设（平行公理）演绎出来的几何体系，称为欧几里得几何。透视方位投影就是利用欧氏几何建立地图投影的传统方法。透视方位投影，根据视点与地球球心距离的大小，又可分为正射投影（视点在无穷远）、外心投影（视点

6、位于球面外有限距离处）、球面投影（视点在地球面上）和球心投影（视点在地球中心）。我国学者李国藻创设的双重方位投影也属几何方法建立的投影[10]。　　投影变形在地图投影中不可避免，笔者在文献［11］中对此用几何方法给出了形象的证明。　　地图应用中常有面积量算。面积量算中的几何图形计算法、方格法、平行线法、经纬网络法等量算方法，都基于几何学的基本原理[12]。3微积分　　微积分在地图学中的应用相当普遍。　　建立地图投影的基本公式时，求一阶基本量（也称高斯系数）E、F、G、H是推导公式的基础，这过程要对椭球面上的微分梯形沿经线、沿纬线、沿对角线微分，一阶基本量的表达式也是关于或关于的

7、偏导数。等角条件、等积条件、等距离条件的确定，也包含一系列的微分和偏导数运算。　　从赤道至纬度之间的子午线弧长S表现为积分：（2）（2）式中a为地球椭球的长半径，e为第一偏心率。椭球面上由经线，纬线围成的球面梯形面积的积分式为：（3）（3）式中的M为子午圈曲率半径，N为卯酉圈曲率半径。在等积投影的计算中，需求经差1弧度的从赤道至纬度的球面梯形面积（以平方千米为单位）。高斯－克吕格投影的x，y坐标公式推导过程，需要进行一系列复杂的微分和导数、偏导数运算。我国杨启和教授通过对高斯－克吕格投影族的