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《自考线性代数重点练习题04》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第四章 向量组的线性相关性1.设v1=(1,1,0)T,v2=(0,1,1)T,v3=(3,4,0)T,求v1-v2及3v1+2v2-v3.解v1-v2=(1,1,0)T-(0,1,1)T=(1-0,1-1,0-1)T=(1,0,-1)T.3v1+2v2-v3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T-(3,4,0)T=(3´1+2´0-3,3´1+2´1-4,3´0+2´1-0)T=(0,1,2)T.2.设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a),求a,其中a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T.解由3(a1-a)+2(
2、a2+a)=5(a3+a)整理得=(1,2,3,4)T.3.已知向量组A:a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,a3=(2,3,0,1)T;B:b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,-2,1,1)T,b3=(4,4,1,3)T,证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.证明由知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.由知R(B)=2.因为R(B)¹R(B,A),所以A组不能由B组线性表示.4.已知向量组A:a1=(0,1,1)T,a2=(1,1,0)T;B:b1=(-1,0,1)T,b2=(1,2,1)T,b3=(3,2,-1)T,
3、证明A组与B组等价.证明由,知R(B)=R(B,A)=2.显然在A中有二阶非零子式,故R(A)³2,又R(A)£R(B,A)=2,所以R(A)=2,从而R(A)=R(B)=R(A,B).因此A组与B组等价.5.已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,证明(1)a1能由a2,a3线性表示;(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.证明(1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关,故a2,a3也线性无关.又由R(a1,a2,a3)=2知a1,a2,a3线性相关,故a1能由a2,a3线性表示.(2)假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则因为a1
4、能由a2,a3线性表示,故a4能由a2,a3线性表示,从而a2,a3,a4线性相关,矛盾.因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1)(-1,3,1)T,(2,1,0)T,(1,4,1)T;(2)(2,3,0)T,(-1,4,0)T,(0,0,2)T.解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为,所以R(A)=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B.因为,所以R(B)=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.7.问a取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1
5、)T,a3=(1,-1,a)T.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.由知,当a=-1、0、1时,R(A)<3,此时向量组线性相关.8.设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式.解因为a1+b,a2+b线性相关,故存在不全为零的数l1,l2使l1(a1+b)+l2(a2+b)=0,由此得,设,则b=ca1-(1+c)a2,cÎR.9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如,当a1=(1,2)T,a2=(2,4)T,b1=(-1,-1)T,b2=(0,0)T时,
6、有a1+b1=(1,2)T+b1=(0,1)T,a2+b2=(2,4)T+(0,0)T=(2,4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,×××,am是线性相关的,则a1可由a2,×××,am线性表示.解设a1=e1=(1,0,0,×××,0),a2=a3=×××=am=0,则a1,a2,×××,am线性相关,但a1不能由a2,×××,am线性表示.(2)若有不全为0的数l1,l2,×××,lm使l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0成立,则a1,a2,×××,am线性相关,
7、b1,b2,×××,bm亦线性相关.解有不全为零的数l1,l2,×××,lm使l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0,原式可化为l1(a1+b1)+×××+lm(am+bm)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,×××,am=em=-bm,其中e1,e2,×××,em为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,×××,am和b1,b2,×××,bm均线性无关.(3)若只有当l1,l2,×××,lm全为0时,等式l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0才能成立
