一轮复习配套讲义第2篇第1讲函数的概念及其表示

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1、第1讲　函数的概念及其表示[最新考纲]1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)

2、，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件，n∈N*f(x)≥0与[f(x)]0f(x)

3、≠0logaf(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3．函数值域的求法方法示例示例答案配方法y＝x2＋x－2y∈性质法y＝exy∈(0，＋∞)单调性法y＝x＋y∈[2，＋∞)换元法y＝sin2x＋sinx＋1y∈分离常数法y＝y∈(－∞，1)∪(1，＋∞)辨析感悟1．对函数概念的理解．(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为②④.(√)(2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．(×)2．函数的定义域、值域的求法(3)(2013·江西卷改编)函数y＝ln(1－x)的定义域为(0

4、,1)．(×)(4)(2014·杭州月考改编)函数f(x)＝的值域为(0,1]．(√)3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f(x)＝则f(f(3))＝.(√)学生用书第10页(6)(2014·浙江部分重点中学调研改编)函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为或－2.(√)4．函数解析式的求法(7)已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√)(8)已知f(－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2.(×)[感悟·提升]1．一个方法　判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应

5、关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范　一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一　求函数的定义域与值域【例1】(1)(2013·山东卷)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数y＝的值域为________．解析　(1)由题意

6、解得－3＜x≤0.(2)y＝＝＝1－，因为≠0，所以1－≠1.即函数的值域是{y

7、y≠1}．答案　(1)A　(2){y

8、y≠1}规律方法(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．【训练1】(1)函数y＝ln＋的定义域为________．(2)函数f(x)＝的值域为________．解析　(1)根据题意可知

9、，⇒⇒0＜x≤1，故定义域为(0,1]．(2)当x≥1时，logx≤0；当x＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案　(1)(0,1]　(2)(－∞，2)考点二　分段函数及其应用【例2】(1)(2014·东北三校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(3)的值为(　　)．A．－1B．－2C．1D．2(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析　(1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，又2

10、＞0，所以f(2)＝f(2－1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0)＝－2.(2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a