数学物理方法复习提纲

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1、复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集，对于中的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则说在点集上定义了一个复变函数，记作：，点集叫作函数的定义域令：，并将代入，则有：初等复变函数：指数函数：三角函数：,,1）因为，，所以，具有实周期2），为无界函数。3）双曲线函数：，，对数函数：幂函数：一般指数函数：复变函数的导数：设函数是在区域上定义的单值函数，对于上的某点，如果极限存在，则称函数在点处可导，此极限叫作函数在点处的导数，表示为:复变函数可导的充要条件：复变函数可导的充要条件是偏导数第18页共18页，，，存在、连续

2、，并且满足柯西-黎曼条件，即：，解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数在点及其邻域内处处可导，那么称在点解析。如果在区域内每一点都解析，那么称在内解析，或称为内的一个解析函数。注：在某点解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.●设给定二元调和函数，作为解析函数的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数的全微分式为：考虑柯西-黎曼条件可得：的三种计算方法：（1）曲线积分法：

3、全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2）凑全微分显式法：把凑成全微分的显式，求出。（3）不定积分法例题.已知解析函数的实部，求虚部和这个解析函数容易验证为调和函数：由柯西-黎曼条件可得：所以有：(1)曲线积分法：第18页共18页图1取如图1所示的积分路径，可求出积分其中为积分常数。(2)凑全微分显式法：所以有;(3)不定积分法：，把视为参数，对积分可得：对求偏导数与向比较可得：所以由可得：所以有：可把,代入上式求出复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：若曲线由参数方程，，给出则有，可得积分的计算

4、公式第18页共18页高阶导数公式设在区域内是解析的，在闭区域上是连续的，为的边界，对于区域内的任一点，可以求导任意多次，第阶导数可表示为：上式可看作在柯西公式对求次导，其中等式右边在积分号内对关于求次导。幂级数：其中：系数和固定点都是复常数，是一个复变量幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）：幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）：奇点法：幂级数中心到最近奇点的距离即为收敛圆的半径收敛圆：泰勒级数：定理：设函数在区域上是解析的，为区域内任一点，在区域内的圆中，可以展开为泰勒级数：泰勒级数的收敛半径为到区域的边界的最短距离将函数展开为

5、泰勒级数的方法1．直接计算系数：例题.以为中心，将展开为泰勒级数。第18页共18页解：的各阶导数为，所以：2.换元法：例题.试分别以及为中心将函数展开成Taylor级数，并指出其收敛半径.解：利用级数，来展开以为中心，则有：的奇点是，从中心到的距离为1，所以收敛半径。3.在收敛圆内逐项求导法(求积分法)例题.以为中心，将函数展开为Taylor级数解：已知，，等式左边对求导，右边对逐项求导可得：，洛朗定理：若函数在环形区域内解析，则可在环形区域内任一点展开为罗朗级数，其形式为：其中展开系数为：积分路径为环形区域内绕的任一简单闭合曲线。罗朗级数

6、中称为展开式的正则部分，称为主要部分。罗朗级数在环形区域内绝对且一致收敛罗朗级数展开方法举例例题.将函数在以为中心的环形区域内展开为罗朗级数。第18页共18页解：在上式中令，再把写成可得：例题.已知函数，以为中心将函数展开成罗朗级数解：已知上式中的第二项有一个奇点，所以在为圆心的圆周内，可以展开为泰勒级数：所以有：，孤立奇点：若函数在不可导(或无定义)，而在的任意小邻域内除外处处可导，则称点是的一个孤立奇点。孤立奇点的分类及其判定(1)可去奇点：若极限存在，则称为的可去奇点。(2)极点.零点：不恒为零的解析函数如果能表示成其中为正整数，在点

7、点解析，且，那么为的阶零点。零点判定定理：如果函数在点解析，那么为的阶零点例如：为的一阶零点极点：如果函数在其孤立奇点邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项则称为函数的阶极点。上式也可表示为，其中第18页共18页对于，有且为邻域内的解析函数(3)本性奇点：函数在其孤立奇点邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项留数概念(Residue)：若点是函数的一个孤立奇点，函数在环形区域内解析，则在此环形区域内，可展开成罗朗级数罗朗级数的项的系数叫作函数在点的留数（或残数），记作。留数定理：设函数在简单闭合曲线所围区域内除有限个孤立奇点外处处解析，在闭区域

8、上除外连续，则有：其中沿曲线的积分方向为逆时针方向。留数的计算(1)若为的可去奇点，为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则：(2).若点为的一阶极点：若函数可以表示为的特殊形式，其中