2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：3.3.1 函数的单调性与导数

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.3.1　函数的单调性与导数[学习目标]　1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点一　函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考　在区间(a，

2、b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？答案　必要不充分条件.知识点二　利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；72017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.题型一　利用导数判断函数的单调性例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减.证明　f′(x)＝，又x∈，则cosx<0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数.反思与感悟　关于利用导数证明函数单调

3、性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f′(x)>0(或<0)，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥0(或≤0).跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数.证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又00，故f(x)在区间(0，e)上是增函数.题型二　利用导数求函数的单调区间例2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0

4、2lnx；(4)f(x)＝x3－3tx.解　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)＞0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－30，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－

5、或00，∴00时，解x2＞t得x＞或x＜－；由f′(x)＜0解得－＜x＜.函数f(x)的增区间是(－∞，－)和(，＋∞)，减区间是(－，).反思与感悟　求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间

6、为减区间.跟踪训练2　求函数f(x)＝x3＋的单调区间.解　方法一　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；f′(x)＝3x2－＝3.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.72017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1,0)，(0,1).方法二　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－＝3(x2－)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0

7、,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)单调递增↗－4单调递减↘单调递减↘4单调递增↗所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1,0)，(0,1).题型三　已知函数单调性求参数的取值范围例3　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围.解　f′(x)＝2x－＝.要使f(x)在[2，＋∞)上是单