2019年高考数学(文)一轮复习第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第二节　基本不等式[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(对应学生用书第81页)[基础知识填充]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)称为正数a，b的算术平均数.称为正数a、b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R当且仅当a＝b时，取等号)；(2)＋≥2(a，b同号且不为零，当且仅当a＝b时，取等号)；(3)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时，取等号)；(4)2≤

2、(a，b∈R，当且仅当a＝b时，取等号)．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　　)(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)7北师大版2019届高考

3、数学一轮复习学案[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab　B．a＋b≥2C．＋>D．＋≥2D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]3．(2018·福州模拟)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)A．2B．3C．4D．5C　[因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝

4、b＝2时取“＝”，故选C．]4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋B．1＋C．3D．4C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C．]5．(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.【导学号：00090198】25　[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤2＝25，7北师大版201

5、9届高考数学一轮复习学案当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.](对应学生用书第81页)直接法或配凑法求最值　(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A．　B．2C．2D．4(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(1)C　(2)1　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.(2)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4

6、x－2＋的最大值为1.][规律方法]　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．[变式训练1]　(1)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋B．1＋C．3D．4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．a≥B．a＞7北师大版20

7、19届高考数学一轮复习学案C．a＜D．a≤(1)C　(2)A　[(1)当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C．(2)由x＞0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A．]常数代换法或消元法求最值　(1)(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为________．(2)(2018·郑州模拟)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．【导学号：00090199】

8、(1)　(2)3　[(1)∵正实数x，