2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课堂探究学案

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1、2017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案1.1.2　余弦定理课堂探究一、三角形中的四类基本问题剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹

2、角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．二、教材中的“？”在△ABC中，令＝c，＝b，＝a，你能通过计算

3、a

4、2＝a·a证明余弦定理吗？剖析：如图所示，

5、a

6、2＝a·a＝a2＝·＝(－)·(－)＝－2·＋＝－2

7、

8、

9、

10、cosA＋＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝b2＋c2－2bccosA．同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abco

11、sC．知识拓展：除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决．(1)(坐标法)如图所示，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，62017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案则点A，B，C的坐标分别为A(0，0)，B(ccosA，csinA)，C(b，0)，根据两点间的距离公式，得a=

12、BC

13、=，∴a2=c2cos2A-2bccosA+b2+c2sin2A，即a2=b2+c2-2bccosA．同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．(2)(用正弦定理证明)∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2

14、RsinC，∴b2＋c2－2bccosA＝4R2(sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)]＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sinBsinCcosBcosC)＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sinBsinCcosBcosC]＝4R2(sin2Bcos2C＋2sinBsinCcosBcosC＋sin2Ccos2B)＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2．同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．题型一

15、　用余弦定理解三角形【例1】在△ABC中：(1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求c；(2)a＝3，b＝4，c＝，求最大角；(3)a∶b∶c＝1∶∶2，求∠A，∠B，∠C．分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x，x，2x．解：(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋12－2×1×1×＝3，∴c＝．62017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案(2)显然∠C最大．∵cosC＝＝＝－，∴∠C＝120°．(3)由于a∶b∶c＝1∶∶2，可设a＝x，b＝x，c＝2x．由余弦定理，得cosA＝＝＝，∴∠A＝30°．同理cosB＝，

16、cosC＝0，∴∠B＝60°，∠C＝90°．反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．(2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出其余两角．另外也可由边长关系，判断出∠C为直角，再求角．题型二　判断三角形的形状【例2】在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinB·cosC，试确定△ABC的形状．分析：利用余弦定理先求出∠A＝60°，再根据三角变换公式求得∠B＝∠C．解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc．而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝

17、1．∴cosA＝．∴∠A＝60°．又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，sinA＝2sinB·cosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(∠B－∠C)＝0，∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝120°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．故△ABC为等边三角形．反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．(2)对于给出条件是边角关