数学开放性问题巡视

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1、数学开放性问题巡视数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例1.设等比数列的公比为，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请明理由.解:存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步

2、深化解题进程的.设存在常数，使数列成等比数列.,(i)当时，代入上式得即=0但,于是不存在常数，使成等比数列.(ii)当时，，代入上式得.综上可知,存在常数，使成等比数列.注意：等比数列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比的情形,可不要忽视例2．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；（3）

3、使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.解：（1）=.（2）解不等式＞0,得＜x＜.∵　x∈N，　∴　3≤x≤17.故从第3年工厂开始盈利.（3）(i)∵　≤40当且仅当时，即x=7时，等号成立.∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.(ii)y=－2x2+40x－98=－2（x－10）2+102，当x=10时，ymax=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获

4、利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.例3．已知数列在直线x－y+1=0上.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若函数求函数f(n)的最小值；(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.解：（1）（2）,,.故最小值是（3）,.故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.事实上,数列{an}是等差数列,你知道吗？例4．深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司

5、——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.解：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：证人所说的颜色（正确率80%）真实颜色蓝色红色合计蓝色（85%）680170850红色（15%）30120150合计7102901000从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为

6、.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.本题的情景清新,涉及到新教材中概率的知识,上述解法中的列表技术显示了一定的独特性,在数学的应试复课中似乎是很少见的.例5．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式.（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求数列{un}的前n项的和Sn.解：（1）在中,令得.在中,令得，有.（2）是奇函数,这需要我们进一步探索.事实上故为奇函数.（1）从规律中进行探究,进而提出猜想.由,………………………………猜测.于是我们很易想到用数学归纳法证明

7、.1°当n=1时，，公式成立；2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，，公式仍然成立.综上可知，对任意成立.从而.∴，故例6．如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值（2）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB

8、=r+，∴

9、PA

10、－｜PB

11、=2．∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线

12、的右支，其