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1、浅谈类比思想在几何解题中的应用(姓名:闫天虎单位:甘肃省泾川县荔堡中学手机:18793341781)数学家乔治·皮利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人”.的确从初中平面几何到高中的立体几何我们学过的定理,公式很多,这些定理,公式是产生类比型问题的“沃土”.而且在许多高考试题中对类比思想的考查也是屡见不鲜.只要考生能及时发现所给问题与所学知识的相似之处,有意识地与大脑中贮存的知识,方法,技巧,习题挂钩,通过类比联想,归纳演绎,就能很快解决新问题,或得到新结论.那么什么是类比呢?类比就是根据两个对象具有某些相同属性,并且其中的一个对象还有
2、另外的属性作为前提,推出另一个对象也有相同或类似的属性.比如,我们由分数的运算法则可以推出分式的运算法则就是类比.又比如我们把“四个二次”放在一起类比,等等.值得注意的是,类比是不严格的,得到的结论也不一定正确.但类比推理能启发思路、触类旁通.下面我就用具体例子简单谈谈类比思想在几何解题中的应用.案例1.在平面几何里有勾股定理“设的两边互相垂直,则有”.拓展到空间,类比平面几何的勾股定理.研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三侧面两两互相垂直,则有”.解析:在平面上是线的关系,在空间里呢?假若是
3、面的关系,类比一下,直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和,-9-而直角顶点所对的面会有什么关系呢?大胆猜想:事实上,如图1-2作交于点,连结,则∴∴.图1-1图1-2案例2.（2004年广东高考15题）如图2-1有面积关系:,通过类比则图2-2有体积关系:.图2-1图2-2-9-解析:设,∵,,∴.类比一下,设,分别过作,垂足分别为,再连结,则与相似,∴①∵,,∴②∴③则由①②③联立解得:.案例3.在任意中有余弦定理:.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的第三个侧面面积与另外两个侧面所成的二面角之间的关系式:,即三棱柱
4、的余弦定理.-9-图3-1图3-2解析:如图3-2所示,设为斜三棱柱的侧棱上的任意一点,作交于点,交于点.∵,,,∴,∵,∴,∴,又∵是二面角的平面角,在中由余弦定理得:,∴,∵∴.案例4.在平面几何中有：“正三角形中任意一点到三边的距离之和为一定值”；拓展到空间,类比平面几何中正三形这一性质.研究正三棱锥的侧的几何特性,可以得出的相似的结论:“正四面体上中任意一点到四个面的距离之和为一定值”.图4-1图4-2通过类比：二维----三维,平面----立体,面积----体积.-9-展开思维活动,使问题迎刃而解,从而拓宽学生的解题思路.解
5、析：如图4-1设正的边长为,是其内任意一点,且到,,的距离分别为,,,垂足分别为,,.连接,,.由面积分割法得：即：得：∴正三角形中任意一点到三边的距离之和等于其边长的倍即恒为一定值.如图4-2设正四面体的棱长为,是其内任意一点,且到,,,的距离分别为,,,垂足分别为,,,.连接,,,.由体积分割法得：得：.∴正四面体上中任意一点到四个面的距离之和等于其棱长的倍即恒为一定值.案例5.若中两直角边为,斜边上的高为,则有,如图在正方体的一角上截取三棱锥,为棱锥-9-的高,则有.图5-1图5-2通过类比：二维----三维,平面----立体,
6、面积----体积.展开思维活动,使问题迎刃而解,从而拓宽学生的解题思路.解析：如图5-1设中两直角边为,斜边上的高为,有：,∴.由直角三角形等面积原理得：,两边平方变形得：.在三棱锥中,易得：,,.在中由余弦定理得：∴如图5-2在中再由正弦定理得：-9-两边平方有:在三棱锥中,由直等体积原理得：即：∴∴∴.当然,数学问题浩如烟海,能用类比思想解决的不止以上各例.也不仅仅用于几何问题解题中.正如数学家乔治·皮利亚所说：“在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现一堆蘑菇”.因此只要数学永存,数学人应用类比思想解题
7、应是一个永恒的主题!参考文献[1]杨庆余.高中数学教材难点分析[M].银川:宁夏人民出版社,1998,130-225.[2]江西金太阳高考模拟示范卷(第12卷)[J].南昌:江西金太阳出版社,2008.[3]试题调研2008高考押题文科数学[M].乌鲁木齐:新疆青少年出版社,2008,5-7.[4]许少华.浅谈类比推理[J].郑州:中学生学习报(第4期),2007.[5]南京考一高考模拟示范卷(第12卷)[J].南京:南京考一出版社,2009.-9-论文题目：《浅谈类比思想在几何解题中的应用》姓名:闫天虎学历:大学本科单位:甘肃省泾川
8、县荔堡中学职务:荔堡中学教务副主任职称：中学二级数学教师手机:18793341781定稿时间:2010年4月1号说明:由于本文使用了数学数字符号,因此行间距调整为磅后会导致数据不全或丢失,且页数有所增多,但字数在以内.恳
