2012年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准

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1、2012年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112选项CADBDCBDCCAB1．选C.【解析】由题知，∴.2．选A.【解析】，∴，．3．选D.【解析】由题知：时，，满足题意；时，由，满足题意．4．选B.【解析】圆心为，过点的最长弦（直径）斜率为，且最长弦与最短弦垂直，∴过点的最短弦所在直线的斜率为，倾斜角是．5．选D.【解析】A、B可能出现与相交；C可能出现与相交、异面；由线面垂直的性质可得D正确

2、．6．选C.【解析】由题知：，解得即是所求.7．选B.【解析】易得外接球的半径，则外接球的体积．8．选D.【解析】由题知：，∴，即：对恒成立，∴从第2项起，以后各项均为正数，故．9．选C.【解析】画出可行域如图，，可见当时取最小值，当时取最大值．10．选C.【解析】由题知：∴故．11．选A.【解析】由题知的周期为2，所以在上为减函数，故偶函数2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）在上为增函数，因为，所以，.于是，故选A.12．选B.【解析】设直线的方程为，、，则.由消去,得，∴∴

3、.直线的方程为，将及，代入得，化简得，∴，直线过点．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．填.【解析】次数在以上（含次）的频率之和为，则高一学生的达标率为．14．填.【解析】易得在等比数列中，，公比，∴．15．填.【解析】在展开式中，∴由题意得，，.故．16．填.【解析】，可设直线，则，∴，点在抛物线上，得，，即，2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）．三、解答题：共6小题，共70分．17．（1）设小时后甲船航行到处，，由余弦定理得（海里）；…6分（2）由得．设经过小时两

4、船在处相遇，则在△中，，，由正弦定理有，∴．…12分18．（1）取中点，连结.由题知：，且，，在△中，边上的高为，由于，设到平面的距离为，则，∴，即到平面的距离为；…6分（2）如图所示，建立空间直角坐标系，可取为平面的一个法向量．设平面的一个法向量为．则，，其中，，∴∴不妨取，则．．…12分2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）19．（1）设购买小区的人数为，则，∴恰有人购买小区房产的概率为；…6分（2）可能的取值为．个人购买房产共有种不同方法．；；（也可用求解）∴的分布列为∴．

5、…12分20.（1）设点，则，，由题知，化简得，即是点的轨迹的方程；…6分（2）设，，，可得两式相减，得变形可得,即,2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）其中表示的中点与坐标原点连线的斜率，又，∴，∥.同理，∥，其中为的中点.∴为的中点.…12分另解：设，，，则……①，……②，……③.由，化为，即……（*）若轴，得，由（*）及②可得，∴，∴为的中点.若与轴不垂直，可设其方程为.由消去，得∴，.，，代入（*）化简得，即，∵，∴.故过原点，由对称性知为的中点.…12分2012年高三

6、年级第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）21.（1）显然，．设切点,则,即．∴,又．∴,易知，故．由,得．因此当时,,于是单调递减；当时，，于是单调递增．所以的减区间是,增区间是；…6分（2）由．若≤时，，于是在上单调递增，因此不可能有两个零点；若时，易得的减区间是，增区间是．在上有两解于是即为所求．…12分22.选修4-1：几何证明选讲（1）∵是的切线，是弦，∴．∵，∴，∴，∴∥；…5分（2）∵，又，∴△∽△，有,即.而、是的相交弦，∴，故，∴.2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答

7、案第8页（共7页）由切割线定理有，∴.…10分23.选修4-4：坐标系与参数方程（1）设曲线上任意一点，由变换得代入得，所以曲线是以为圆心，半径为的圆.∴的极坐标方程为；…5分（2）曲线的直角坐标方程为，由得或所以交点为或，两点的坐标均满足曲线的直角坐标方程．∴直线与曲线的交点也在曲线上．…10分24.选修4-5：不等式选讲（1）不等式可化为：≤，解得：≥．故不等式≤的解集为≥；…5分（2）由≤得：≤．∵≥.当且仅当，即时取“”．∴原问题等价于≤，解得≤≤1．∴的取值范围是≤≤1．…10分2012年高三年级

8、第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．2012年高三年级第三次诊断性测验理科数学试题答案第8页（共7页）