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时间:2018-07-19
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1、向量表示三角形四心[3篇]以下是网友分享的关于向量表示三角形四心的资料3篇,希望对您有所帮助,就爱阅读感谢您的支持。向量表示三角形四心第一篇三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一.知识点总结1)O是∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0;若O是∆ABC的重心,则S∆BOC=S∆AOC=S∆AOB=1S∆ABC3故OA+OB+OC=0;36PG=(PA+PB+PC)⇔G为∆ABC的重心.32)O是∆ABC的垂心⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA;若O是∆ABC(非直角三角形)的垂心,tanB:tanC则S∆BOC:S∆AOC:S∆AOB=tanA:故
2、tanAOA+tanBOB+tanCOC=03)O是∆ABC的外心⇔
3、OA
4、=
5、OB
6、=
7、OC
8、(或O=O=O)若O是∆ABC的外心:sin∠AOC:sin∠AOB=sin2A:sin2B:sin2C则S∆BOC:S∆AOC:S∆AOB=sin∠BOC222故sin2A+sin2B+sin2C=4)O是内心∆ABC的充要条件是⋅-=⋅-=⋅-=036引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3,则刚才O是∆ABC内心的充要条件可以写成O⋅(e1+e3)=O⋅(e1+e2)=O⋅(e2+e3)=0O是∆ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC
9、=0若O是∆ABC的内心,则S∆BOC:S∆AOC:S∆AOB=a:b:c故aOA+bOB+cOC=0或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0;
10、AB
11、PC+
12、BC
13、PA+
14、CA
15、PB=0⇔P∆ABC的内心;+)(λ≠0)所在直线过∆ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直向量λ(
16、AB
17、
18、AC
19、线);二.范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ+λ∈[0,+∞)则P点的轨迹一,定通过∆ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:因为是向量AB的单位向量设AB36与AC方向上的单位向量分别为
20、e1和e2,又-=,则原式可化为由菱形的基本性质知AP平分∠BAC,那么在∆ABC=λ(e1+e2),则知选B.点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”中AP平分∠BAC,是什么?没见过!想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是△ABC所在平面内任一点,HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔点H是△ABC的垂心.由HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HC-HA)=0⇔H
21、B⋅AC=0⇔HB⊥AC,同理HC⊥AB,⊥.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA,则P是△ABC的(D)36A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由⋅=⋅得⋅-⋅=0.即⋅(-)=0,即⋅=0则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB所以P为∆ABC的垂心.故选D.点评:本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4
22、.G是△ABC所在平面内一点,++=0⇔点G是△ABC的重心.证明作图如右,图中GB+GC=GE连结BE和CE,则CE=GB,BE=GC⇔BGCE为平行四边形⇒D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将+=代入++=0,得+=0⇒=-=-2,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心⇔36PG=1(PA+PB+PC).3证明PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG⇒3=(++)+(++)∵G是△ABC的重心∴GA+GB+GC=0⇒AG+BG+CG=0,即3PG=PA+PB+PC例6若O为∆ABC内一点,OA+OB+OC=0,则O是∆AB
23、C的(由此可得PG=1(PA+PB+PC).(反之亦然(证略))3解析:由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则OB+OC=OD,由平行四边形性质知A.内心B.外心C.垂心36D.重心C1OE=OD,OA=2OE,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。2点评:本题需要扎实的平面几何知识,平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质:重心是三角形中线的内分点,所分这比为λ=。本题
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