义务教育2016-2017学年高中数学人教a版选修4-5学业分层测评8反证法与放缩法word版含解析

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1、学业分层测评（八）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②　　B．①②④　　C．①②③　　D．②③【解析】　由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】　C2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)A.＝B.＜C.＝且＜D.＝或＜【解析】　应假设≤，即＝或＜.【答案】　D3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2

2、＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为(　　)A．0个　　　B．1个C．2个　　　D．3个【解析】　对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】　C4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)A．M≥NB．M≤NC．M>ND.M

3、(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，从而有≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故选A.【答案】　A5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】　∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.【答案】　C二、填空题6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________.【导学号：32750042】【答案】　a，b

4、中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)7．lg9·lg11与1的大小关系是________．【解析】　∵lg9＞0，lg11＞0，∴＜＝＜＝1，∴lg9·lg11＜1.【答案】　lg9·lg11＜18．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．【解析】　∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝＋＋＋…＋＜＝1.【答案】　M＜1三、解答题9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．【解】　2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，得

5、2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，∴2c＝＝1＋≤1＋＝，故c≤log2＝2－log23.10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.【证明】　k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．若记Sn＝＋＋…＋，则Sn>1＋2＋…＋n＝，Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.[能力提升]1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】　三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”

6、的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．【答案】　D2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)A．x＋y≥2(＋1)B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2D.xy≥2(＋1)【解析】　由已知(x＋y)＋1＝xy≤，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∵x，y都是正实数，∴x＞0，y＞0，∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．【答案】　A3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．【解析】　∵a＞2，∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，∴＜，而＝loga(a2－1)＜

7、logaa2＝1，∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.【答案】　＜4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋),【导学号：32750043】(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.【解】　(1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)，∴a2＝22·a1＝16，a3＝2·a2＝72.又∵＝2·，n∈N＋，∴为等比数列．∴＝·2n－1＝2n，∴an＝n2·2