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《07-1实数集的完备性的基本定理 闭区间上连续函数性质的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理(一)教学目的：理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关系,了解各定理的证明思路．(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(三)基本要求：(1)掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三)教学建议：(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2)本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．———————
2、———————————————————————一区间套定理与柯西收敛准则定义1区间套:设是一闭区间序列.若满足条件ⅰ）对,有,即,亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ）.即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套.区间套还可表达为:.我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列和,其中递增,递减.例如和都是区间套.但、和都不是.区间套定理Th7.1(区间套定理)设是一闭区间套.则在实数系中存在唯一的点,使对有.简言之,区间套必有唯一公共点.二聚点定理与有限覆盖定理定义设是无穷点集.若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点,则称点为的一个聚点.数集=有唯一聚点,但;开
3、区间的全体聚点之集是闭区间;设是中全体有理数所成之集,易见的聚点集是闭区间.Th7.2(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.2.聚点原理:Weierstrass聚点原理.Th6每一个有界无穷点集必有聚点.三实数完备性基本订立的等价性证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行:Ⅰ:确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则确界原理;Ⅱ:区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则;Ⅲ:区间套定理Heine–Borel有限复盖定理区间套定理.一.“Ⅰ”的证明:(“确界原理单调有界原理”已证明过).1.用“确界原理”证明“单调有界
4、原理”:Th2单调有界数列必收敛.2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th3设是一闭区间套.则存在唯一的点,使对有.推论1若是区间套确定的公共点,则对,当时,总有.推论2若是区间套确定的公共点,则有↗,↘,.3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:Th4数列收敛是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列.(证)Th4的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界
5、数集.当为有限集时,显然有上确界.下设为无限集,取不是的上界,为的上界.对分区间,取,使不是的上界,为的上界.依此得闭区间列.验证为Cauchy列,由Cauchy收敛准则,收敛;同理收敛.易见↘.设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二.“Ⅱ”的证明:1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th5(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）Th6每一个有界无穷点集必有聚点.2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th4数列收敛是Cauchy列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.“Ⅲ”的证明:
6、1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel有限复盖定理”:2.用“Heine–Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”:§2闭区间上连续函数性质的证明(4时)(一)教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二)教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(三)基本要求：1）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法.掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．
7、2)掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(四)教学建议：(1)本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2)本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．————————————————————————一.有界性:命题1,在上.证法一(用区间套定理).反证法.证法二(用列紧性).反证法.证法三(用有限复盖定理
