高考数学人教a版(理)一轮复习【配套word版文档】:第六篇 第5讲 数列的综合应用

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1、第5讲数列的综合应用A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是(  ).A.a1+a3≥2a2B.a+a≥2aC.若a1=a3,则a1=a2D.若a3>a1,则a4>a2解析 设公比为q,对于选项A,当a1<0,q≠1时不正确;选项C,当q=-1时不正确;选项D,当a1=1,q=-2时不正确;选项B正确,因为a+a≥2a1a3=2a.答案 B2.满足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前n项和为Sn,则满足Sn>1025的最小n值是(  )

2、.A.9B.10C.11D.12解析 因为a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以an+1=2an,an=2n-1,Sn=2n-1,则满足Sn>1025的最小n值是11.答案 C3.(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(  ).A.5年B.6年C.7年D.8年解析 由已知可得第n年的产量an=f(

3、n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合,据题意令an≥150⇒n≥5,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.答案 C4.(2013·福州模拟)在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且a1>0,Sn是数列{an}前n项的和,若Sn取得最大值,则n=(  ).A.7B.8C.9D.10解析 设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式an>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,an>0,同理可得n≥10时,an<0.故当n=9时,Sn取得最大值.答案 C二、填空题(

4、每小题5分,共10分)5.(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an,数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为________.解析 由x2-x<2nx(n∈N*),得0<x<2n+1,因此知an=2n.∴S100==10100.答案 101006.(2013·南通模拟)已知a,b,c成等比数列,如果a,x,b和b,y,c都成等差数列,则+=________.解析 赋值法.如令a,b,c分别为2,4,8,可求出x==3,y==6,+=2.答案 2三、解答题(共25分)7.(12分)已知等差数列{

5、an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn;(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,因为S5=5a3=35,a5+a7=26,所以解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,所以bn===-,所以Tn=++…+=1-=.8.(13分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的

6、值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.(1)解 当n=1时,2a1=a2-4+1=a2-3,①当n=2时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7,②又a1,a2+5,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+5),③由①②③解得a1=1.(2)解 ∵2Sn=an+1-2n+1+1,∴当n≥2时,有2Sn-1=an-2n+1,两式相减整理得an+1-3an=2n,则-·=1,即+2=.又+2=3,知是首项为3,公比为的等比数列,∴+2=3n-1,即an=3n-2n,n=1时也适合此式,∴an=3n-2n.(3

7、)证明 由(2)得=.当n≥2时,n>2,即3n-2n>2n,∴++…+<1+2+3+…+n=1+<.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2012·济南质检)设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  ).A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)解析 由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)

8、=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n.答案 A2.(2012·四川)设函数f(x)=2x-

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