函数与方程思想在数列中应用

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1、典例4　　[2015·湖北高考]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[解]　(1)由题意有，即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意

2、数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【针对训练4】　[2016·东城模拟]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前

3、n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．解　(1)因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)因为Sn＝n(n＋1)，bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝，令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，

4、即当n＝1时，(bn)max＝，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝，所以实数k的最小值为.数列1．等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2．等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋.3．等比数列通项公式：an＝a1·qn－1.4．等比数列前n项和公式：Sn＝.5．等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．6．等比中项公式：a＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．7．数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：an＝.[重要结论]1．通项公式的推广：等差数列中，an＝am＋(n

5、－m)d；等比数列中，an＝am·qn－m.2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．(2)等比数列中，若a1>0且q>1或a1<0且00且01，则数列为递减数列．3．等差数列{an}中，Sn为前n项和．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；等比数列{bn}中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比数列．[失分警示]1．忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条

6、件．2．漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，容易漏掉－.3．忽略对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.4．an－an－1＝d或＝q中注意n的范围限制．5．易忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2.6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明．7．等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负.考点　数列的概念、表示方法及递推公式　　典例示法题型1　利用递推关系求通项公式典例1　　(1

7、)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(　　)A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝n[解析]　由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0，又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，即＝，an＋1＝an，所以an＝··…·a1＝a1(n≥2)，所以an＝(n＝1适合)，于是所求通项公式为an＝.[答案]　B(2)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，

8、则数列前10项的和为______．[解析]　由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，故数列前1