水力压裂二维模型综述

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1、一、PK模型在PK模型垂直性裂缝如(图4.4）的扩展有如下假设：（1）裂缝有一个固定高度，与缝长无关。（2）与裂缝扩展方向垂直的横截面中的液体压力P为常数。（3）垂直平面存在有岩石的刚度，它抵抗在压力P作用下产生的形变。换句话说，每一个垂直截面独立变形，不受邻近截面的妨碍。（4）由此，在这些横截面中，方程4.3将缝高，液体压力P和该点的裂缝宽度联系起来。这些横截面为一个椭圆形，其中心最大宽度为，（4.13）（5）用在一个狭窄的椭圆形流动通道中的流动阻力来确定裂缝扩展方向或x方向的液体压力梯度，对于牛顿流情况（4.14）（6）在没有特殊理由时，缝内流体压力在趋向缝端视逐步

2、下降，以至于在X=L时P=.最初始的理论忽略裂缝宽度增长对流量的影响，即，在没有液体滤失时有如下假设Nordgren修改了裂缝宽度增长对流量的影响，修改后的连续性方程如下：（4.15）通过（4.15）从方程（4.13）消去=一项，得到关于的非线性偏微分方程，（4.16）满足初始条件：当t=0时，=0边界条件：对于单翼裂缝对于双翼裂缝裂缝形状为,裂缝体积为，二、GDK模型对于一个垂直的矩形裂缝扩展模型，（图4.5）与PK理论有些相似图4.5根据Geertsma和deKlerk结果所作层流时裂缝线性扩展示意图此模型有如下假设：（1）假设缝高依然是固定的。（2）仅在水平面考虑

3、岩石刚度。由于这个原因，裂缝宽度，裂缝宽度与缝高无关，除了井眼边界条件规定一个不变的总注入量q。当然，每单位缝高的流量比影响裂缝宽度，但在垂直方向上宽度不变，由于该理论是建立在平面应变条件的基础上，由此条件得到在各个水平面里力学上令人满意的模型。然而在实际中应用于整个生产层时，此模型得到相对来说较宽的裂缝，在许多现场例子中，这似乎比PK理论预测的较窄的裂缝更接近实际情况，关于此现象的道理还不能充分解释。（3）通过计算垂直方向上各个宽度不同的细窄矩形裂缝内流动阻力来确定扩展方向的液体压力梯度。（4.17）根据应用力学条件给出平衡条件（4.18）方程（4.17）适用于一侧缝

4、长，取为总排量，这与在初始的PK理论中所作的假设很相像。Biot等人已引入x的修正项。根据Zheltov和Khristianovithde建议，满足方程（4.18）的液体压力分布能由下式近似为式中接近1.这里可提供开始计算所需的“湿缝长”，（为承压段缝长）（4.19）此种近似通常情况下精度足够，此外，在GDK公式中，对的贡献没略去，除了紧靠裂缝周边之外，水平面里的裂缝形状为椭圆形，井眼处有最大缝宽为：（4.20）取，上式与PK理论中的式（4.13）类似接下来的问题是确定的大小，它取决于锲形裂缝尖端附近的液体压力急剧下降，确定液体在裂缝中的流动阻力的一个很好的近似方程如下

5、，（4.21）将此方程代入（4.17）之后，进一步得出单翼裂缝的体积等于，（4.22）最后我们得出，（4.23）和（4.24）三、两个模型的比较表4.1和4.2对于PK，PKN和GDK模型给出了裂缝长度，最大缝宽和泵入压力。PKN模型GDK模型表4.1在常排量，裂缝长度，最大裂缝宽度和泵入压力的方程PK单翼双翼PKN0.602.643.000.3952.002.52GDK0.682.502.750.451.892.310.681.872.770.481.321.19四、带有滤失时的裂缝尺寸的计算——Nordgren扩展的PK理论PK不考虑液体进入地层，Nordgren修

6、补了这个不足。某点连续性方程成为（与方程4.15相比较），（4.42）该点被定义为单位缝长的滤失，（4.43）因为PK模型似乎对长时间作业最为适用，在这种情况下选用近似式，式中随效果较好，由此导出，式中随，于是此解相似于Carter的解，和由此导出（4.45）和（4.46）由此推出缝宽沿缝长X的分布：五、带有滤失的GDK模型与PK模型相反，初始的GDK模型是以小值为最适合现成模拟条件（），即适用于低的滤失系数和短的施工时间。由此可得出（4.49）其中，我们用下式作为L和w之间的第二个关系来求解两个未知数对于大的液体滤失（>4）情况，有方程（4.51）L与之间有下列关系，

7、（4.52）由此可解的，六、裂缝尺寸的简单计算泵入期间的裂缝尺寸可以使用计算器或简单的计算机做近似计算。对于PKN或GDK裂缝模型，为了获得近似的裂缝尺寸，下列等式必须进行编程计算。在此介绍一种简单计算最终支撑裂缝尺寸的方法，所有表达式中的裂缝长度和裂缝体积都是指总缝长的一翼；更进一步说，所有等式都包含有量纲化得常数，以便在符号说明表中，独立变量和非独立变量有相同的单位。1.模型的选择可以依据岩石力学或实际效果，考虑使用PKN或GDK模型区估算裂缝尺寸，如果严格按照岩石力学考虑，GDK模型仅能用于缝高大于缝长的浅井；PKN模型则可以用于其