【原创精品】高等数学精品课教案

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1、《高等数学》精品课教案课题：§1.1函数及其性质教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义教学重点：初等函数的概念、图形及性质教学难点：分段函数的概念课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为元，则其销售额与销售量之间存在这样的依赖关系：=又例如：圆的面积和半径之间存在这样的依赖关

2、系：不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。二、讲授新课（一）函数的定义定义设有两个变量x，y。对任意的x∈D，存在一定规律f，使得y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x)，x∈D。其中x叫自变量，y叫因变量。定义10（集合的观点）A，B为两个数集，对任意的x∈D，存在f，在B中有唯一确定的

3、值与之对应。记作：f：A→B函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。例1f(x)=2x2+3x-1就是一个特定的函数，确定的对应法则为：f()=2()2+3()-1例10：设f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2∴f(x)=2x2–x–2其对应法则：f()=2()2-()-2定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0

4、②偶次根式被开方数大于或等于0③对数的真数大于0④y=x0(x≠0)⑤y=tanx(x≠)等.例2求函数y=+arcsin的定义域.解：要使函数有定义，即有：于是，所求函数的定义域是：[-3，-2][3，4].小结：函数有两要素：定义域和对应法则，即只要这两样定了，函数就定了，所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。例3判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx(2)ω=与y=解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此

5、是同一函数.函数的表示法：（1）解析法（或分析法、公式法）。如：、，这样的表达式亦为函数的解析式，这种表示法的主要优点是严密；（2）图示法：如用直角坐标（或极坐标等）平面的一条曲线表示，这种表示法的主要优点是直观；（3）表格法：如三角函数表、对数表、正态分布表等，这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。分段函数若函数在定义域不同的区间上用不同解析式来表示，则称函数为分段函数.如（二）函数的几种特性要研究函数，首先函数必须要有意义，假设f(x)在区间上有定义。1、有界性若存在两个数A和B，对一切，则称

6、为有界函数．例如：，在全数轴上均有界，而在（0，1）内无界.思考：在定义域内，下列函数中哪些有界？y=sinxy=cosxy=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx2、单调性对，若对任意两点时有，则称函数在上单调增加，区间称为单调增区间；反之，函数在上单减少，区间称为单调减区间．单调增区间或单调减区间统称为单调区间例如在其定义域区间内均为单调函数。3、奇偶性对，若则称为奇函数；若成立，则称为偶函数。奇函数的几何图形关于原点对称，而偶函数的几何图形关于轴对称．例如：函数是偶

7、函数。例如：函数是奇函数。例如：函数既不是奇函数也不是偶函数。4、周期性对，若存在常数，对任何x，满足则称为周期函数，的一个周期． 例如，函数，的周期均为，的周期为。而（是一个常数）是以任何正数为周期的周期函数，但它不存在基本周期，所以说，并不是所的周期函数都存在基本周期（最小周期）。（三）反函数定义函数y=f(x)，若把y当作自变量，x当作函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=φ(y)称为函数y=f(x)的反函数,记作y=f-1(x).注：求函数的反函数的一般方法是将关系式经过一系列的变换，变

8、成的形式，最后再表示成的形式。三、课堂练习思考题1、3四、小结理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义；掌握基本初等函数的图形和性质.五、布置作业习题一1、2、4、5、7、8.选做：3、6课题：§1.2函数及其性质教学目的：1.掌握基本初等函数的图形和性质2.理解复合函数的概念3.掌握复合函数的构成过程教学重点：复合函数的构成教学难点：复合函数的分解及反三角函数的图象课型：讲授课课