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《山东师范大学2006-2007学年第二学期期末》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题答案及评分标准课程编号：4081102课程名称：数学分析适用年级：2006学制:_4_适用专业：应用数学信息计算试题类别：(A)一、单项选择题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.若则等于(A)A.B.C.D.2.使得瑕积分收敛的的值为（B）A.B.C.D.3.已知级数则级数等于（C）A.3B.7C.8D.94.若级数在处收敛,则此级数在处(B)A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定5.设,其中则等于(D)A.B.C.D.二、填空题：（本题共8小题10个空格，每空2分，共
2、20分）1.实数完备性的六个基本定理为:单调有界定理,_确界原理,聚点定理,区间套定理,有限覆盖定理,柯西收敛准则;2.数列的上﹑下极限分别为_2____,____0____;3.计算不定积分;4.设则;85.级数的和为;6.级数的收敛域为[0,2)____;7.函数展成的幂级数为8.使得级数条件收敛的的值为;三、判断下列反常积分的敛散性,若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共4小题，共20分）1．解:对有;而单调趋于0,故由狄利克雷判别法推知无穷积分是收敛的.3’由于其中满足狄利克雷判别法的条件,是收敛的,而是发散的.5’因此无穷积分是条件收
3、敛的.6’2.解:由于由于,3’因此由比较判别法知是发散的.4’3.8解:此瑕积分的瑕点为.当取时,有,所以瑕积分收敛.4’因为在上恒为负,从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的,因此瑕积分是绝对收敛的.6’4.解:此瑕积分的瑕点为.且.2’由于知积分发散,从而积分是发散的于是积分是发散的.4’四、（本题共2小题，每小题10分，共20分）1.级数当为何值时是绝对收敛,条件收敛或发散的?解:(1)当时,由于8因此级数是绝对收敛的.3’(2)当时,考虑函数.由于因此当充分大时,.从而当充分大时,单调递增,由此推出,当充分大时,单调递减.又因为,所以级
4、数是收敛的.另一方面,因此级数非绝对收敛.从而当时,级数是条件收敛的.7’(3)又显然当时,,从而级数是发散的.9’综上所述,得:当时,级数绝对收敛;当时,级数条件收敛;当时,级数发散.10’2.设证明函数项级数在上一致收敛,并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.证明：对每一个，易见为上增函数，故有又当时，有不等式所以8以收敛级数为的优级数，推得在上一致收敛.4’由于每一个在上连续,根据和函数的连续性定理与逐项可积定理知,的和函数在上连续且可积.6’又由即收敛级数也是的优级数，推得也在上一致收敛.9’由逐项可微定理知在上可微.10’五、
5、(本题共两小题，每小题7分，共14分)1.求函数在处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间.解:因为在内能展开为麦克劳林级数。2’所以,6’从而幂级数收敛于该函数的区间是.7’2.把函数在上展开成余弦级数,并推出.解:为把展成余弦级数,对作偶式周期延拓,由公式知84’根据收敛定理,在区间上6’当时,由收敛定理可得从而有.7’六、(本题共两小题，每小题8分，共16分)1.设为等比数列(公比满足),试求:(1)幂级数的收敛半径;(2)数项级数的和.解:(1)设为等比数列(公比满足),则,从而有所以幂级数的收敛半径.4’(2)由于数项级数,,6
6、’8对于级数,因为,所以级数收敛.令则有所以,从而因此数项级数的和为.8’2.求幂级数的和函数解:(1)先求幂级数的收敛域.因为所以又当时,相应的级数与都收敛,从而该幂级数的收敛域为.3’(2)再求幂级数在其收敛区间上的和函数,下面用逐项求导法来求解.设则有再设8又有于是对上式两边进行积分,得到并有再进行积分,又得6’(3)最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数,因为函数在处左连续,而幂级数在处收敛,所以等式在处也成立.又所以原幂级数的和函数为8’8
